Science & Education

Rydberg-Formel 1/λ = R·Z²(1/n₁² − 1/n₂²): wählen Sie ein wasserstoffähnliches Ion der Ladung Z (He⁺, Li²⁺…) und die unteren/oberen Niveaus, mit R∞ für unendliche Kernmasse oder reduzierter Massenkorrektur für Wasserstoff-1, Deuterium, Helium-4 oder eigene Masse. Ausgegeben werden Wellenlänge, Photonenenergie, Frequenz und Bande; He⁺ 4→2 weist auf die Koinzidenz mit der Lyman-α des Wasserstoffs hin (Pickering-Serie), und die Balmer-Linien zeigen ihre Farben Hα–Hδ.

Math & Numbers

Erzeugt mit dem Sieb des Eratosthenes alle Primzahlen bis n (≤ 10⁷), optional beschränkt auf [m, n]. Die Ausgabe erklärt die Mechanik: Basisprimzahlen (p² ≤ n), Anzahl der Streichoperationen und tatsächliche zusammengesetzte Zahlen; die Liste zeigt bis zu 200 Primzahlen, die Zählungen bleiben exakt. Klassiker: Bei n = 100 streichen die Basen 2, 3, 5, 7 genau 74 zusammengesetzte Zahlen und lassen 25 Primzahlen; π(1000) = 168.

Math & Numbers

Untersucht die Konvergenz der Reihe Σ aₙ (aₙ als Ausdruck von n): nacheinander werden das Notwendigkeitskriterium (aₙ → 0?), das Quotientenkriterium L = |aₙ₊₁/aₙ|, das Wurzelkriterium ρ = |aₙ|^(1/n), der Vergleich mit p-Reihen (p = −ln|a(N)|/ln N) und das Integralkriterium (numerisches Simpson + Dekaden-Wachstumsvergleich) angewendet; alternierende Reihen werden automatisch erkannt und per Leibniz-Kriterium klassifiziert, und für konvergente Reihen wird die Summe geschätzt (Partialsumme + geometrischer oder potenzgesetzlicher Rest). Klassiker: Σ1/n² konvergiert (p≈2, Summe≈1.6449); Σ1/n divergiert (harmonisch); Σ0.5ⁿ konvergiert; Σcos(πn)/n konvergiert bedingt (Summe≈−ln2).

Math & Numbers

Verknüpft zwei Mengen: Vereinigung A ∪ B, Schnitt A ∩ B, Differenz A − B, symmetrische Differenz A △ B und kartesisches Produkt A × B. Elemente sind kommagetrennte Zeichenketten (Groß-/Kleinschreibung beachtet, Duplikate werden unter Erhalt des ersten Vorkommens entfernt, höchstens 50 pro Menge); ausgegeben werden die Ergebnismenge und die Kardinalitäten |A|, |B| und |Ergebnis|, das kartesische Produkt zeigt bis zu 200 geordnete Paare. Klassiker: {1,2,3,4} △ {3,4,5,6} = {1,2,5,6}; {a,b} × {x,y,z} hat 6 Paare.

Math & Numbers

Löst dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ mit dem klassischen Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung: pro Schritt werden vier Steigungen k1–k4 berechnet und y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4) aktualisiert; globaler Fehler O(h⁴) — halbiertes h teilt den Fehler ungefähr durch 16. Liefert die Schrittabelle, die k1–k4-Werte der ersten Schritte und die Endschätzung; die optionale exakte Lösung y(x) ergibt eine Fehlerspalte. Beispiel: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 2,718282, fast exakt e.

Math & Numbers

Löst a·y'' + b·y' + c·y = f(x): Wurzeln der charakteristischen Gleichung ar² + br + c = 0, homogene Lösung nach Diskriminante klassifiziert (zwei verschiedene reelle / doppelte / konjugiert komplexe Wurzeln) und partikuläre Lösung per Ansatz unbestimmter Koeffizienten mit Resonanz (ist k Wurzel, wird der Ansatz mit x^m multipliziert). Konstanten, Polynome, A·e^(kx) und A·sin(kx)+B·cos(kx) werden unterstützt; mit y(x₀) und y'(x₀) bestimmen C1, C2 ein 2×2-System. Klassiker: y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x.

Health

Berechnet den Shannon-Index (Shannon–Wiener): H′ = −Σpᵢ·ln pᵢ, mit pᵢ = nᵢ/N. H′ steigt mit Artenreichtum S und Evenness; Basen ln (klassisch), log₂ (Bits pro Art) oder log₁₀. Liefert H′max = ln(S) und Pielou-Evenness J = H′/ln(S) (0–1; J=1 völlig gleichmäßig). Richtwerte: H′ < 1 niedrig, 1–3 moderat–hoch, > 3 sehr hoch (kontextabhängig; vergleichen Sie Gemeinschaften mit ähnlichem S).

Utilities

Ein Durchlauf ersetzt das Trio bit.ly + Campaign Builder + QR-Generator: Ziel-URL und UTM-Parameter rein (GA4-Pflichttrio geprüft, optional Kleinschreibung), vollständige Trackings-URL raus; ein deterministischer Base62-Slug (FNV-1a-Hash, gleicher Input → gleicher Slug, ohne Konto und Netz) auf deiner Short-Domain; zwei QR-PNGs (Kurz- und Voll-Link); dazu nginx-/vercel.json-/Netlify-Redirect-Snippets und die CSV-Zeile fürs Kampagnen-Tracking.

Education

Plant die klassische 10-fach-Serienverdünnung: Stufenzahl n = ceil(log₁₀(Stamm ÷ Ziel)) aus den Konzentrationen oder Stufen direkt vorgeben; liefert die Konzentrationstabelle pro Röhrchen (C_k = Stamm ÷ 10^k) und das Rezept pro Röhrchen (1:9-Mischung, z. B. 100 µL aus dem vorherigen Röhrchen + 900 µL Verdünnungsmedium auf 1 mL). Hinweise: pro Stufe neue Spitze, 5–10 s vortexen, von konzentriert zu verdünnt arbeiten. Kombinierbar mit dem KBE/mL-Rechner. Quellen: Standard Methods, FDA-BAM-Anhang. Nur für Ausbildung.

Development

Titel, Beschreibung und URL eingeben — pixelgenaue Simulation des aktuellen (2026) Google-Snippets: einzeiliger Titel ~600px am Desktop, zweizeilig mobil, Zeile „Website › Pfad“ am Desktop gegenüber nur Domain mobil (Änderung Januar 2025), Sterne und Preis als Rich Results, Datum, helles und dunkles Theme, Pixel-Meter und Diagnose (Hinweis: FAQ-Rich-Results wurden Mai 2026 entfernt).

Health

Berechnet den pulmonalen Shunt Qs/Qt = (CcO₂ − CaO₂)/(CcO₂ − CvO₂), mit CcO₂=1.34×Hb×1.0+0.003×PAO₂, CaO₂=1.34×Hb×SaO₂+0.003×PaO₂, CvO₂=1.34×Hb×SvO₂+0.003×PvO₂; PAO₂ aus der Alveolargasgleichung FiO₂×(P_atm−47)−PaCO₂/0.8. Normal <5%; 10–20% mäßiger Shunt (Pneumonie/Ödem/moderates ARDS); >20% schwerer Shunt (schweres ARDS/hepatopulmonales Syndrom/Kardialer Shunt), O₂-refraktär. Der 100%-O₂-Shunt-Test unterscheidet echten Shunt von V/Q-Mismatch. Bei fehlendem SvO₂/PvO₂ werden Standardwerte (0.75/40) verwendet und gekennzeichnet. Quellen: Berggren 1942, StatPearls, LITFL, West. Keine medizinische Beratung.

Health

Berechnet die Serum-Osmolalität. Konventionelle Formel Osm = 2×Na + Glukose/18 + BUN/2.8 (Na in mmol/L, Glukose und BUN in mg/dL); SI-Formel Osm = 2×Na + Glukose + Harnstoff (alle in mmol/L). Bei Verdacht auf toxische Alkohole zusätzlicher Ethanol-Term EtOH/4.6. Norm ≈ 275–295 mOsm/kg. <275 → Hypo-Osmolalität (SIADH, primäre Polydipsie, Nebenniereninsuffizienz, Hypothyreose); >295 → Hyper-Osmolalität (Hyperglykämie HHDK, Hypernatriämie/Wasserverlust, Urämie, Mannitol, toxische Alkohole — diese erhöhen auch die osmotische Lücke). Quellen: Dorwart 1975, Rasouli 2014, MDCalc. Keine medizinische Beratung.