Интерактивная визуализация распределений интервалов собственных значений — Вигнер-Дайсон против Пуассона, ансамбли GOE/GUE/GSE и универсальность в сложных системах
В 1951 году Юджин Вигнер предположил, что интервалы между энергетическими уровнями тяжёлых атомных ядер следуют универсальному распределению. Для гауссова ортогонального ансамбля (GOE, β=1) P(s) = (π/2)·s·exp(-πs²/4). Ключевая особенность — «отталкивание уровней»: P(s) ~ s^β при s→0.
GOE (β=1): линейное отталкивание; GUE (β=2): квадратичное; GSE (β=4): квартическое. Эти распределения универсальны и зависят только от класса симметрии.
Плотность собственных значений большой случайной матрицы сходится к ρ(λ) = (2/(πR²))·√(R²-λ²). Этот закон универсален. Краевые эффекты вызывают флуктуации Трейси-Видома.
Вещественные симметричные матрицы, инвариантные относительно ортогональных преобразований. P(s) = (π/2)·s·exp(-πs²/4). Применим к системам с обращением времени и целым спином.
Комплексные эрмитовы матрицы, инвариантные относительно унитарных преобразований. Квадратичное отталкивание. Нули дзета-функции Римана предположительно следуют статистике GUE.
Кватернионные самодуальные матрицы с симплектической инвариантностью. Квартическое отталкивание. Применим к системам с полуцелым спином.
Для интегрируемых квантовых систем уровни энергии следуют статистике Пуассона: P(s) = exp(-s). Отсутствие отталкивания уровней.
Исходная мотивация Вигнера: уровни энергии тяжёлых ядер следуют статистике GOE, подтверждено нейтронной резонансной спектроскопией.
Мнимые части нулей дзета-функции Римана на критической линии, по-видимому, следуют статистике GUE, что подтверждается численными расчётами Одлизко.
Гипотеза Богигаса-Джаннони-Шмита: квантовые системы с хаотическими классическими аналогами демонстрируют спектральную статистику случайных матриц.
RMT применяется к финансовым корреляционным матрицам для отделения сигнала от шума, улучшая оптимизацию портфеля.