Visualisation interactive des distributions d'espacement des valeurs propres — Wigner-Dyson vs Poisson, ensembles GOE/GUE/GSE et universalité dans les systèmes complexes
En 1951, Eugene Wigner a proposé que les espacements des niveaux d'énergie des noyaux atomiques lourds suivent une distribution universelle. Pour l'Ensemble Orthogonal Gaussien (GOE, β=1), la distribution d'espacement est P(s) = (π/2)·s·exp(-πs²/4). La caractéristique clé est la « répulsion des niveaux » : P(s) ~ s^β quand s→0, signifiant que les valeurs propres s'évitent mutuellement.
La répulsion des niveaux est la tendance des valeurs propres à éviter le regroupement. GOE (β=1) : répulsion linéaire ; GUE (β=2) : répulsion quadratique ; GSE (β=4) : répulsion quartique. Ces distributions sont universelles : elles dépendent uniquement de la classe de symétrie.
La densité des valeurs propres d'une grande matrice aléatoire N×N converge vers ρ(λ) = (2/(πR²))·√(R²-λ²). Cette loi est universelle. Les effets de bord causent des fluctuations de Tracy-Widom aux bords spectraux.
Matrices symétriques réelles invariantes sous transformations orthogonales. P(s) = (π/2)·s·exp(-πs²/4). S'applique aux systèmes invariants par renversement du temps avec spin entier.
Matrices hermitiennes complexes invariantes sous transformations unitaires. Répulsion quadratique. Les zéros de la fonction zêta de Riemann suivraient les statistiques GUE.
Matrices quaternioniques auto-duales invariantes sous transformations symplectiques. Répulsion quartique. S'applique aux systèmes avec spin demi-entier.
Pour les systèmes quantiques intégrables, les niveaux d'énergie suivent les statistiques de Poisson : P(s) = exp(-s). Pas de répulsion des niveaux. La variance numérique est Σ²(L)=L.
La motivation originale de Wigner : les niveaux d'énergie des noyaux lourds suivent les statistiques GOE, vérifiées par spectroscopie de résonance neutronique.
Les parties imaginaires des zéros de la fonction zêta de Riemann semblent suivre les statistiques GUE, confirmées par les calculs numériques d'Odlyzko.
La conjecture Bohigas-Giannoni-Schmit stipule que les systèmes quantiques classiquement chaotiques présentent des statistiques spectrales de matrices aléatoires.
RMT est appliquée aux matrices de corrélation financière pour séparer le signal du bruit, améliorant l'optimisation de portefeuille.