Решатель орбиты Кеплера

Численно решает уравнение Кеплера E − e·sin(E) = M для эксцентрической аномалии E, истинной аномалии ν, радиуса орбиты и относительной скорости, методами Ньютона/бисекции/простой итерации, с историей сходимости и SVG-диаграммой

По средней аномалии M (градусы), эксцентриситету e и необязательной большой полуоси a (а.е.) инструмент решает трансцендентное уравнение

M = E − e · sin(E)

относительно эксцентрической аномалии E. Из E выводятся:

  • Истинная аномалия ν: tan(ν/2) = √((1+e)/(1−e)) · tan(E/2)
  • Радиус орбиты: r = a · (1 − e·cos E)
  • Относительная скорость (интеграл энергии): v/v_circ = √(2 − r/a)

Три метода:

  • Ньютон-Рафсон (рекомендуется): аналитическая производная f′(E) = 1 − e·cos E, квадратичная сходимость. При большом e (>0.8) старт с E = π.
  • Бисекция: устойчиво, отрезок [M−e, M+e], линейная сходимость.
  • Простая итерация E ← M + e·sin E: простейший, расходится при e → 1.

Отчёт показывает орбиту в SVG (эллипс с фокусом в центре, перигелий, афелий, фокус и текущее положение с радиус-вектором), вычисленные величины, классификацию орбиты (круговая/эллиптическая/параболическая/гиперболическая) и полную историю итераций с остатками.

Примеры результатов

1 Примеры

Решить эллиптическую орбиту средней эксцентричности

M=45°, e=0.3, a=1 а.е.; сравните E, ν, r и историю Ньютона.

Kepler solution with orbit SVG and iteration history.
Показать параметры ввода
{ "M": 45, "e": 0.3, "a": 1, "method": "newton", "maxIter": 100, "tol": "1e-12" }

Ключевые факты

Категория
География и наука
Типы входных данных
number, select
Тип результата
html
Покрытие примерами
4
API доступен
Yes

Обзор

Этот онлайн-инструмент предназначен для численного решения уравнения Кеплера E − e·sin(E) = M, позволяя мгновенно вычислить эксцентрическую аномалию, истинную аномалию, радиус орбиты и относительную скорость небесного тела. Вы можете выбрать один из трех методов решения (Ньютона-Рафсона, бисекции или простой итерации), настроить точность и визуализировать полученную орбиту на интерактивной SVG-диаграмме с полной историей сходимости.

Когда использовать

  • •При расчете положения планеты, кометы или спутника на орбите по известной средней аномалии и эксцентриситету.
  • •Для сравнения скорости сходимости и точности численных методов при решении трансцендентных уравнений небесной механики.
  • •При подготовке учебных материалов по астрономии с необходимостью визуализации орбиты и положения тела.

Как это работает

  • •Введите среднюю аномалию M в градусах, эксцентриситет орбиты e и, при необходимости, большую полуось a в астрономических единицах.
  • •Выберите численный метод (Ньютон, бисекция или простая итерация), задайте максимальное количество итераций и требуемый допуск сходимости.
  • •Алгоритм находит эксцентрическую аномалию E, после чего вычисляет истинную аномалию, радиус-вектор и относительную скорость.
  • •Инструмент строит SVG-схему орбиты с указанием текущего положения тела и выводит подробную таблицу шагов сходимости с остатками.

Сценарии использования

Моделирование положения искусственных спутников Земли на эллиптических орбитах для расчета зон видимости.
Выполнение домашних заданий и лабораторных работ по курсу астрономии и небесной механики.
Быстрый расчет параметров орбиты комет и астероидов в перигелии и афелии.

Примеры

1. Расчет положения Земли на орбите

Студент-астроном
Контекст
Студенту необходимо рассчитать истинную аномалию и радиус-вектор Земли для средней аномалии 90 градусов.
Проблема
Ручной расчет трансцендентного уравнения Кеплера занимает много времени и требует написания кода.
Как использовать
Введите M = 90, e = 0.0167 (эксцентриситет Земли), a = 1.0. Выберите метод Ньютона и нажмите кнопку расчета.
Пример конфигурации
M=90, e=0.0167, a=1.0, method="newton", tol="1e-12"
Результат
Получено точное значение эксцентрической аномалии E ≈ 90.95°, истинной аномалии ν ≈ 91.91° и радиуса r ≈ 1.0002 а.е. за 3 итерации метода Ньютона.

2. Анализ сходимости для высокоэксцентрической орбиты

Преподаватель физики
Контекст
Преподаватель хочет продемонстрировать разницу в скорости сходимости методов Ньютона и простой итерации для кометной орбиты.
Проблема
Требуется наглядная таблица шагов сходимости для орбиты с высоким эксцентриситетом.
Как использовать
Задайте M = 45, e = 0.8, выберите метод простой итерации (fixedpoint), затем повторите расчет с методом Ньютона (newton).
Пример конфигурации
M=45, e=0.8, method="fixedpoint", maxIter=100, tol="1e-9"
Результат
Инструмент показал, что метод простой итерации расходится или требует слишком много шагов, в то время как метод Ньютона находит решение за 5 итераций с высокой точностью.

Проверить на примерах

image, svg, barcode
SVG Примеры
Примеры масштабируемой векторной графики (SVG) демонстрирующие различные возможности и техники SVG
matched family image,svg
image, svg
Примеры D3.js Визуализации Данных
Комплексные примеры визуализации данных D3.js, включая диаграммы, карты, анимации и интерактивные визуализации
matched family image,svg
image, svg
Примеры XML
Примеры формата XML (eXtensible Markup Language) от простых до сложных структур
matched family image,svg
image, svg
Примеры Расширенного Применения Grafana
Комплексные примеры Grafana, охватывающие продвинутый дизайн дашбордов, конфигурацию оповещений, интеграцию источников данных и разработку плагинов
matched family image
image

Связанные хабы

Инструменты конвертации форматов изображений и анимированного экспорта
Сравните конвертеры JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 и инструменты экспорта анимированных изображений в одном хабе.
Инструменты для очистки, оформления и пакетной подготовки изображений
Соберите в одном хабе инструменты для очистки изображений, обрезки, добавления полей и рамок, пакетного изменения размера и сжатия, водяных знаков и финальной визуальной подготовки.
Инструменты для штрихкодов, QR-кодов и этикеток
Соберите в одном хабе инструменты для генерации штрихкодов, создания и декодирования QR-кодов, проверки UPC/EAN, WiFi QR и печатных этикеток.
Инструменты метаданных изображений, EXIF и очистки приватности
Сравните просмотрщики метаданных, инспекторы EXIF/IPTC/XMP, исправление ориентации, редакторы метаданных и инструменты удаления приватных данных из изображений.

FAQ

Какие типы орбит поддерживает этот решатель?

Инструмент классифицирует орбиты как круговые (e = 0) или эллиптические (0 < e < 1). Для параболических и гиперболических орбит классическое уравнение Кеплера не применяется.

Какой метод решения лучше выбрать?

Метод Ньютона-Рафсона рекомендуется для большинства задач благодаря квадратичной скорости сходимости. Метод бисекции более устойчив при экстремальных эксцентриситетах.

Почему метод простой итерации не сходится?

Метод простой итерации сходится только при эксцентриситете e < 0.6627 (предел Лапласа) и расходится при больших значениях e, стремящихся к 1.

Что произойдет, если оставить большую полуось равной 0?

Если большая полуось a не задана или равна 0, радиус орбиты r будет рассчитан и отображен в относительных единицах большой полуоси.

Как задается точность вычислений?

Вы можете выбрать допуск сходимости (от 1e-6 до 1e-18) в выпадающем списке параметров перед запуском расчета.

Документация API

Конечная точка запроса

POST /ru/api/tools/kepler-orbit-solver

Параметры запроса

Имя параметра Тип Обязательно Описание
M number Да -
e number Да -
a number Нет -
method select Нет -
maxIter number Нет -
tol select Нет -

Формат ответа

{
  "result": "
Processed HTML content
",
  "error": "Error message (optional)",
  "message": "Notification message (optional)",
  "metadata": {
    "key": "value"
  }
}
HTML: HTML

Документация MCP

Добавьте этот инструмент к конфигурации сервера MCP: 

{
  "mcpServers": {
    "elysiatools-kepler-orbit-solver": {
      "name": "kepler-orbit-solver",
      "description": "Численно решает уравнение Кеплера E − e·sin(E) = M для эксцентрической аномалии E, истинной аномалии ν, радиуса орбиты и относительной скорости, методами Ньютона/бисекции/простой итерации, с историей сходимости и SVG-диаграммой",
      "baseUrl": "https://elysiatools.com/mcp/sse?toolId=kepler-orbit-solver",
      "command": "",
      "args": [],
      "env": {},
      "isActive": true,
      "type": "sse"
    }
  }
}

Вы можете объединять несколько инструментов, например: `https://elysiatools.com/mcp/sse?toolId=png-to-webp,jpg-to-webp,gif-to-webp`, максимум 20 инструментов.

Если вы столкнулись с проблемами, пожалуйста, свяжитесь с нами по адресу [email protected]