Math & Numbers

Löst das System x ≡ rᵢ (mod mᵢ) (2–20 Kongruenzen) mit dem verallgemeinerten chinesischen Restsatz durch paarweise Verschmelzung: Bei paarweise teilerfremden Moduln ist der kombinierte Modul das Produkt, bei nicht teilerfremden, aber verträglichen das kgV; ein unverträgliches System wird klar als unlösbar gemeldet. Jede Kongruenz wird gegen die Endlösung verifiziert. Klassiker: x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) → x = 23 (mod 105).

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Löst Zuordnungsprobleme 2–8 × 2–8 mit dem Lehrbuch-Ungarischen-Algorithmus (rechteckige Matrizen werden mit Dummy-Zeilen/-Spalten zu Kosten null aufgefüllt): Zeilen- und Spaltenreduktion, maximales Matching der Nullen über alternierende Wege, sonst minimale Nullen-Überdeckung mit Geraden nach König — kleinsten ungedeckten Wert abziehen, an Doppelschnittpunkten addieren; Maximierungsprobleme werden intern auf der negierten Matrix gelöst. Jede Runde wird protokolliert; die optimale Zuordnung und die Gesamtkosten werden per Einsetzen verifiziert. Klassiker: [[9,2,7],[6,4,3],[5,8,1]] min → Gesamtkosten 9.

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Erzeugt Permutationen, Kombinationen und Teilmengen einer Multimenge, automatisch dedupliziert und in lexikographischer Ordnung: Permutationen über next_permutation mit exakter Anzahl n!/Π(mᵢ!); Kombinationen als alle verschiedenen k-Teilmengen der Multimenge, gezählt als Koeffizient von x^k in Π(1+x+…+x^mᵢ) (C(n,k) bei lauter verschiedenen Elementen); Teilmengen mit Anzahl Π(mᵢ+1) (2ⁿ bei lauter verschiedenen), inklusive leerer Menge. Bis zu 12 Elemente, Anzeige auf 200 Einträge begrenzt, die Anzahl ist stets exakt; im Kombinationsmodus gilt 1 ≤ k ≤ n. Klassiker: Permutationen von [A, A, B] → 3!/2! = 3 (AAB, ABA, BAA); Teilmengen von [A, A, B] → (2+1)(1+1) = 6.

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Analyse von 2–20 Vorgängen mit der Critical-Path-Method (einer pro Zeile: Name, Dauer, Vorgänger): topologische Sortierung, Vorwärtspassung für ES/EF, Rückwärtspassung für LS/LF und Gesamt Puffer; Vorgänge mit null Puffer bilden die kritischen Pfade — es werden alle aufgelistet, nicht nur der erste. Unbekannte Vorgänger, Doppelnamen und Zyklen werden abgelehnt. Klassiker: A(4), B(3, A), C(2, A), D(5, B), E(4, C), F(2, D E) → Projektdauer 14, kritischer Pfad A→B→D→F, Puffer von C/E = 2.

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Vereinfacht Boolesche Funktionen zur minimalen DNF: Ausdruck eingeben (A–D, + ODER, · UND, ' NICHT, ≤ 4 Variablen) oder die Minterm-Liste Σm; der Quine-McCluskey-Algorithmus liefert die Primimplikanten, nimmt die wesentlichen dazu und ergänzt eine exakte Minimalüberdeckung; ausgegeben werden die minimale DNF, das Karnaugh-Diagramm in Gray-Code (2–4 Variablen), die kanonische Form Σm und eine Verifikation über alle Belegungen. Klassiker: AB + A'B → B; Σm(0,1,2,4,5,6) (3 Variablen) → B' + C'.

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Berechnet numerisch die Faltung zweier Signale (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ: Kausalmodus (beide Signale null für t<0, Integral über [max(τmin,0), min(τmax,t)] — passend zu Laplace-Bereichsprodukten) und direkter Fenstermodus (Integral über das gesamte [τmin, τmax] — passend zu beidseitigen Signalen wie Gaußkurven), mittels zusammengesetzter Simpson-Regel (standardmäßig 2000 Intervalle). Klassiker: e^(−t)*e^(−2t) = e^(−t)−e^(−2t), bei t=1 gleich 0.2325; zwei Gaußkurven falten sich zu √(π/2)·e^(−t²/2).

Finance

Rechnet Quoten zwischen Dezimal-, Bruch- und amerikanischem Format um, mit impliziter Wahrscheinlichkeit, plus Parlay-Kombiquoten und faire Quoten ohne Marge.

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Winkelgeschwindigkeits-Umrechnung: rad/s (SI-Basis) ↔ U/min (1=2π/60 rad/s) ↔ Grad/s (1=π/180 rad/s) ↔ Hz (1 Umdrehung/s=2π rad/s). Hz hier = Umdrehung pro Sekunde. Umrechnung über rad/s mit allen vier Äquivalenten. Ref.: Vinyl 33⅓ U/min≈3,49 rad/s, Leerlauf ~800 U/min≈83,8 rad/s.

Finance

Zeigt Jahr für Jahr, wie Beiträge, Zinseszins, Gebühren und Inflation das Wachstum verändern.

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Gleichmäßige Korrosionsgeschwindigkeit aus Massenverlust (ASTM G1): CR(mm/a) = 87,6 × ΔW / (ρ × A × t), ΔW in mg, ρ in g/cm³, A in cm², t in h. Zusätzlich mpy (= mm/a × 39,37) und eine richtungsweisende NACE-Einstufung für Kohlenstoffstahl. Für Tauch-/Coupon-Versuche.

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Schüttdichte und Porosität von Schüttgütern/porösen Materialien. ρ_bulk = m/V_bulk, in drei Richtungen lösbar (ρ, m oder V). Optional ρ_true → Porosität ε = 1 − ρ_bulk/ρ_true. Relative Dichte = ρ_bulk/ρ_Wasser. Einheiten kg, m³, kg/m³.

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Berechnet die Luftwechselrate n=Q/V (1/h) aus Außenluft-Volumenstrom Q und Raumvolumen V. Drei Modi: n (Q,V), Volumenstrom (n,V) oder Volumen (n,Q). Volumenstrom in m³/s/m³/h/CFM, Volumen in m³/ft³/L. Liefert die Zeit zum Erreichen des Lüftungsziels (Restanteil, Standard 1%) nach dem ideal durchmischten Modell: t=−ln(ε)/n.