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Berechnet das Jacobi-Symbol (a/n) (ungerades n bis 10¹⁸; Legendre-Symbol bei primem n): Modulo einer Primzahl bedeutet a^((n−1)/2) ≡ 1 einen Quadratrest, und Tonelli–Shanks (oder die direkte Formel für p ≡ 3 (mod 4)) liefert die Wurzeln ±√a; das Symbol −1 bescheinigt, dass a KEIN Quadratrest ist. Bei zusammengesetztem Modul ist das Symbol nur notwendig: −1 beweist Nicht-Rest, +1 bleibt unbestimmt (bei n ≤ 10⁵ klärt Brute force die Frage). Klassiker: 10 ist Quadratrest mod 13 mit Wurzeln ±6.

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Berechnet die Kennzahlen des M/M/1-Warteschlangensystems im stationären Zustand: Poisson-Ankünfte (Rate λ), exponentielle Bedienung (Rate μ), FCFS. Setzt λ < μ voraus, sonst ist das System instabil und die Eingabe wird abgelehnt. Ausgegeben werden Auslastung ρ, Leerlaufwahrscheinlichkeit P0, die mittleren Anzahlen L (im System) und Lq (in der Warteschlange), die mittleren Zeiten W und Wq, die Wartewahrscheinlichkeit ρ sowie die Zustandswahrscheinlichkeiten P(n) = (1−ρ)ρⁿ (n = 0…5), kreuzgeprüft mit Littles Gesetz L = λW, Lq = λWq. Klassiker: λ = 4/h, μ = 6/h → ρ = 0.6667, L = 2, Lq = 1.3333, W = 0.5, Wq = 0.3333.

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Berechnet die Kennzahlen des Multiserver-Warteschlangensystems M/M/c (Poisson-Ankünfte mit Rate λ, c identische exponentielle Server mit Rate μ, eine gemeinsame FCFS-Warteschlange): angebotene Last a = λ/μ, Auslastung pro Server ρ, Leerlaufwahrscheinlichkeit P0, Erlang-C-Wartewahrscheinlichkeit Pw, mittlere Anzahlen Lq und L, mittlere Zeiten W und Wq, kreuzgeprüft mit Littles Gesetz und der Beziehung Pw→Lq. Setzt λ < cμ voraus (sonst Ablehnung als instabil); mit c = 1 reduzieren sich die Formeln auf M/M/1. Klassiker: λ = 6/h, μ = 3/h, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889.

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Bidirektionale Umrechnung zwischen pH und Wasserstoffionenkonzentration: [H⁺] = 10^(−pH) mol/L und pH = −log₁₀[H⁺]. Unterstützt mol/L, mmol/L, µmol/L und nmol/L (die klinische Physiologie nutzt nmol/L: arterielles Blut pH 7,35–7,45 entspricht ≈35–45 nmol/L; pH 7,40 ↔ 39,8 nmol/L); der pH-Bereich −3 bis 16 deckt Superaziden bis konzentrierte Basen ab.

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Poisson-Zahl ν = −ε_lat/ε_long (Quer- zu Längsdehnung mit Minuszeichen). Drei Richtungen: für ν geben Sie ε_lat und ε_long; für ε_lat ν und ε_long; für ε_long ν und ε_lat. Zug: ε_long>0, ε_lat<0. Typisch: Stahl ≈ 0,30, Aluminium ≈ 0,33, Kautschuk ≈ 0,49, Kork ≈ 0. Theoretischer Bereich 0≤ν≤0,5.

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Berechnet alle Zustandsgrößen feuchter Luft aus Trockenkugeltemperatur und einem Feuchteparameter (rel. Feuchte φ, Feuchtekugel, Taupunkt oder Feuchtegehalt W): W, φ, Taupunkt, Feuchtekugel, Enthalpie h, spezifisches Volumen v, Partialdruck P_w und Sättigungsdruck P_ws. Magnus-Formel; Feuchtekugel iterativ gelöst. Standardatmosphäre 101,325 kPa (einstellbar). Temperatur in °C/K/°F; Ausgabe in °C.

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Berechnet den Durchfluss durch eine Blendenscheibe nach ISO 5167 (inkompressibel, Bernoulli + Durchflussbeiwert C_d): A=π·d²/4, Volumenstrom Q=C_d·A·√(2·ΔP/ρ), Massenstrom ṁ=C_d·A·√(2·ρ·ΔP), Geschwindigkeit in der Blende v=C_d·√(2·ΔP/ρ). Wird der Rohrdurchmesser D angegeben, folgt das Verhältnis β=d/D. ΔP≥0, ρ>0, C_d standardmäßig 0,61 (scharfkantige Blende). Durchmesser in m/cm/mm, Druck in Pa/kPa/bar/atm/psi, Dichte in kg/m³/g/cm³; der Volumenstrom wird in m³/s, l/s, l/min und m³/h ausgegeben.

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Berechnet den Wärmedurchgangskoeffizienten nach dem Modell der Reihenwärmewiderstände für ebene Wände: Gesamtwiderstand R_total=ΣR_i (K/W), Wärmeleitwert G=1/R_total (W/K) und flächenbezogener Koeffizient U=1/(R_total·A) (W/(m²·K)); bei Angabe von ΔT zusätzlich der Wärmestrom Q=ΔT/R_total (W). R_i ist der Wärmewiderstand jeder Schicht (bereits flächenbezogen, z. B. Konvektion R_conv=1/(h·A), Leitung R_cond=d/(k·A), Verschmutzung R_foul=R_f''/A). Geben Sie einen Widerstand pro Zeile ein, mindestens einen, alle positiv. ΔT darf negativ sein (entgegengesetzter Strom); °C-Differenz = K-Differenz, °F-Differenz ×5/9.

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Berechnet nach den Affinitätsgesetzen das Verhalten derselben Pumpe bei verschiedenen Drehzahlen n oder Laufraddurchmessern D: Drehzahlmodus ratio=n₂/n₁, Durchmessermodus ratio=D₂/D₁, Q₂=Q₁·ratio, H₂=H₁·ratio², P₂=P₁·ratio³. Q₁, H₁ und P₁ sind optionale Parameter des ursprünglichen Betriebspunkts; werden alle weggelassen, wird nur das ratio zurückgegeben. Volumenstrom in m³/s/L/s/L/min/m³/h, Förderhöhe in m/ft, Leistung in W/kW/PS, Durchmesser in m/cm/mm; zusätzlich werden die SI-Werte von Q/H/P angegeben.

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Berechnet die Gesamt-Förderhöhe einer Kreiselpumpe H=(p_d-p_s)/(ρ·g)+Δz+(v_d²-v_s²)/(2g) (in m), daraus die Fluidleistung P_fluid=ρ·g·Q·H und die Wellenleistung P_shaft=P_fluid/η. p_d und p_s sind Überdrücke (Saugseite darf negativ sein); v_d und v_s folgen aus Volumenstrom und Stutzendurchmessern v=4Q/(π·D²); fehlt ein Durchmesser, wird der zugehörige Geschwindigkeitshöhen-Term weggelassen. Druck in Pa/kPa/bar/atm/psi, Volumenstrom in m³/s/L/s/L/min/m³/h, Dichte in kg/m³/g/cm³; Leistung in W/kW/PS.

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Berechnet den Darcy-Reibungsfaktor: für Re<2000 die laminare Formel f=64/Re; im turbulenten Bereich wird die Colebrook-White-Gleichung iterativ gelöst, zusätzlich wird die explizite Haaland-Näherung als Kreuzprüfung ausgegeben. ε in m/mm/µm, D in m/cm/mm; das Ergebnis enthält die relative Rauigkeit ε/D, die Iterationszahl und die Strömungsart.

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Berechnet den Druckverlust durch Reibung nach Darcy-Weisbach in einem geraden Rohr: ΔP=f·(L/D)·(ρ·v²/2) Pa; Druckhöhenverlust h_f=ΔP/(ρ·g)=f·(L/D)·v²/(2g) m. Der Benutzer gibt den Darcy-Reibungsfaktor f ein (nicht Fanning). Länge in m/km/ft, Durchmesser in m/cm/mm/inch, Dichte in kg/m³/g/cm³/lb/ft³ (auf SI umgerechnet). Ausgabe in kPa, bar sowie Höhe in m/ft.