浏览运行中的工具目录 - 数学、日期与金融 | 第 45 页

对任意符号的整数 a、b 求解 Bézout 等式 a·x + b·y = gcd(a, b)：给出完整的前向除法步骤表（每行满足 r = a·s + b·t）、gcd 与 lcm。填入可选的右端 c 即变身为线性丢番图方程求解器：gcd | c 时给出特解与通解 x = x₀ + (b/g)t，否则明确报告无整数解。经典例：240 × (−9) + 46 × 47 = 2。

用显式（前向）Euler 法求解初值问题 dy/dx = f(x,y)、y(x₀)=y₀：迭代 y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n)，逐步给出数值表与最终估计 y(目标)。可选填精确解 y(x) 以显示每步绝对误差，直观呈现一阶方法的 O(h) 全局误差。示例：dy/dx = y、y(0)=1、h=0.1 时 y(1) ≈ 1.1¹⁰ = 2.593742，与 e = 2.718282 相比误差 0.124539。

用分离变量法求解 dy/dx = g(x)·h(y)：分离变量、两侧逐项积分得 H(y) = G(x) + C，能反解时给出显式解 y = f(x)。支持单项 h(y)（y、y^n、e^(ky)、ky+m）以及可用部分分式分解的二次多项式（如逻辑斯蒂方程的 y(1−y)）；给定初始条件 y(x₀)=y₀ 时算出常数 C，并检测平衡解。示例：dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C)。

力单位扩展互转：N（SI 基准）↔ kN ↔ dyn（CGS，1=10⁻⁵ N）↔ lbf（1=4.4482216152605 N）↔ kgf（1=9.80665 N）↔ poundal（英制绝对制，1=0.138254954376 N）。所有系数均由精确法定常数推导（1 lb=0.45359237 kg、1 ft=0.3048 m、g₀=9.80665 m/s²）。经 N 中转后输出目标单位，并列出全部六单位等值。参考：1 kg 重物≈9.80665 N、成人体重≈700 N。

油耗/燃油经济性单位互转：L/100km（升每百公里）↔ mpg US（美制）↔ mpg UK（英制）↔ km/L。注意 mpg 与 L/100km 是反比关系（数值越大越省油 vs 越小越省油），不能用单一乘数线性换算。基准 1 美加仑=3.785411784 L、1 英加仑=4.54609 L、1 英里=1.609344 km（均为精确法定值）。参考：紧凑型轿车 ~6 L/100km ≈ 39 mpg US。

质量流量单位互转：kg/s（千克每秒，SI 基准）↔ lb/h（磅每小时，1 lb=0.45359237 kg）↔ t/h（吨每小时，1 t=1000 kg）。经 kg/s 中转后输出目标单位，并附全部三单位等值参考。常用于锅炉给水、化工配料、燃料消耗、压缩气体计量。

体积流量单位互转：m³/h（立方米每小时，SI 衍生）↔ L/min（升每分钟）↔ gpm（美加仑每分钟，1 US gal=3.785411784 L）↔ cfm（立方英尺每分钟，1 ft³=28.3168466 L）。经 m³/s 中转后输出目标单位，并附全部四单位等值参考。常用于水泵、暖通、压缩空气、工业管道。

平均应力修正下的疲劳安全系数。给定应力幅 σ_a、平均应力 σ_m，以及材料 σ_uts、疲劳极限 σ_-1、屈服 σ_y，输出三种经典判据的安全系数：Modified Goodman（线性保守）、Gerber（抛物线，更贴合延性材料）、Soderberg（用 σ_y，最保守）。取三者最小值为控制值，并判定工作点是否在 Haigh 图 Goodman 线内侧。

计算多段行程的燃油量、油费、CO₂、路况权重和拼车分摊。

计算齿轮模数 m。m = d/z = p/π。支持由分度圆 d 与齿数 z 求模数，或由齿距 p 求模数。同时给出分度圆、齿距、齿顶高。

计算飞轮的动能储能。E = ½·I·ω²，ω = 2π·n/60。可直接输入转动惯量，或由飞轮质量与半径按 I = ½·m·r² 计算。支持 J/kJ/Wh。

计算一对啮合齿轮的传动比与输出转速。i = z₂/z₁ = n₁/n₂，输入齿数即可得到传动比，再输入驱动轮转速即可求出从动轮转速。