Как метод Эйлера находит следующее значение y?

Он использует формулу явного шага y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n), где h — шаг интегрирования, а f(x_n, y_n) — тангенс угла наклона.

Каков порядок сходимости явного метода Эйлера?

Метод Эйлера является методом первого порядка: его глобальная погрешность пропорциональна величине шага O(h).

Обязательно ли указывать точное решение y(x)?

Нет, это поле необязательно. Если его заполнить, решатель добавит столбец абсолютной погрешности для каждого шага.

Как повысить точность численного приближения?

Увеличьте число шагов n, что уменьшит шаг h и снизит накапливаемую погрешность вычислений.

Какие функции можно использовать в выражении f(x, y)?

Поддерживаются базовые операции (*, /, +, -) и стандартные математические функции: sin, cos, exp, ln, sqrt и другие.

Elysia Tools

Навигация

Math & Numbers

Численный решатель методом Эйлера (ОДУ первого порядка)

Решает задачу Коши dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ явным методом Эйлера: y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n), с пошаговой таблицей и конечной оценкой. Необязательное точное решение y(x) добавляет столбец ошибки, наглядно показывая глобальную погрешность O(h) метода первого порядка. Пример: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 1,1¹⁰ = 2,593742 против e = 2,718282 (ошибка 0,124539).

Запуск

Запустить этот инструмент

Заполните форму, запустите инструмент и посмотрите результат на этой же странице.

Подготовленные примеры запуска

Нажмите пример, чтобы автоматически заполнить форму. Файлы по-прежнему нужно загрузить.

2 примеров

dy/dx = y, y(0) = 1 → y(1) ≈ 2,593742 (точно e, ошибка 0,124539)

При h = 0,1 итерации Эйлера имеют вид y_{n+1} = 1,1·y_n, поэтому y(1) = 1,1¹⁰ = 2,593742. По сравнению с точным решением y = e^x (y(1) = e = 2,718282) абсолютная погрешность равна 0,124539 — плата за метод первого порядка.

Euler's explicit method dy/dx = f(x, y) = y Start: x0 = 0, y0 = 1 → target x = 1, n = 10 steps, h = 0.1 i x_i y_i f(x_i, y_i) 0 0.000000 1.000000 1.000000 1 0.100000 1.100000 1.100000 … 10 1.000000 2.593742 2.593742 Final estimate: y(1) ≈ 2.593742 Exact y(x) = e^x: y(1) = 2.718282, |error| ≈ 0.124539

dy/dx = x + y, y(0) = 1, 5 шагов до x = 0,5 → y(0,5) ≈ 1,721020

Неавтономный пример: при h = 0,1 наклоны f(x, y) = x + y пересчитываются в каждой строке. Точное решение y = 2e^x − x − 1 даёт y(0,5) = 1,797443, поэтому 5-шаговая оценка Эйлера ошибается примерно на 0,076423.

Euler's explicit method dy/dx = f(x, y) = x + y Start: x0 = 0, y0 = 1 → target x = 0.5, n = 5 steps, h = 0.1 Final estimate: y(0.5) ≈ 1.721020 Exact y(x) = 2e^x - x - 1: y(0.5) = 1.797443, |error| ≈ 0.076423

Ввод

Заполните нужные поля и запустите инструмент.

7 параметров

СодержимоеВставьте или введите основные значения.2

f(x, y) из dy/dx = f(x, y)textОбязательноRight-hand side in terms of x and y (functions: sin, cos, exp, ln, sqrt, …). Write products with *, e.g. x*y.Точное решение y(x) (необязательно)textНеобязательноExact solution in x, used to add an error column. Leave empty to skip.

НастройкиНастройте форматы, диапазоны, числа и режимы.5

x₀ (начальный x)numberОбязательноy₀ = y(x₀)numberОбязательноцелевой xnumberОбязательноMust be greater than x₀.Число шагов nnumberОбязательноh = (target x − x₀)/n. More steps → smaller error, O(h) globally.Знаков после запятойnumberНеобязательно

Результат

Готово к запуску

После запуска здесь появятся файлы, текст, структурированные данные или потоковый вывод.

Примеры

Примеры для этого инструмента

Связано

Численный решатель методом Эйлера (ОДУ первого порядка)

Запустить этот инструмент

Подготовленные примеры запуска

Ввод

Результат

Примеры для этого инструмента

Продолжить с похожими инструментами и темами

Подготовленные примеры запуска

Ввод

Результат

Узнайте, когда использовать этот инструмент, что он поддерживает и как его применяют пользователи.

Ключевые факты

Обзор

Когда использовать

Как это работает

Сценарии использования

Примеры

1. Экспоненциальный рост dy/dx = y

2. Интегрирование неоднородного ОДУ dy/dx = x + y

FAQ

Примеры Обработки Изображений Android Java

Примеры Обработки Изображений Android Kotlin

Примеры Обработки Изображений Web Python

Примеры Обработки Изображений Web Rust

Калькулятор интеграла свёртки (численный)

Калькулятор численного дифференцирования (прямые/обратные/центральные разности)

Решатель ОДУ первого порядка (разделение переменных)

Конструктор Симуляций Монте-Карло