Math & Numbers

Вычисляет символ Якоби (a/n) (нечётное n до 10¹⁸; для простого n это символ Лежандра): по простому модулю a^((n−1)/2) ≡ 1 означает квадратичный вычет, а Tonelli–Shanks (или прямая формула при p ≡ 3 (mod 4)) даёт корни ±√a; символ −1 гарантирует, что a — невыт. По составному модулю символ лишь необходим: −1 доказывает невычет, +1 ничего не гарантирует (при n ≤ 10⁵ ответ находится перебором). Классика: 10 — квадратичный вычет mod 13 с корнями ±6.

Math & Numbers

Вычисляет стационарные характеристики одноканальной СМО M/M/1: пуассоновский входящий поток (λ), экспоненциальное обслуживание (μ), дисциплина FCFS. Требуется λ < μ, иначе система неустойчива и запрос отклоняется. Выводятся загрузка ρ, вероятность простоя P0, средние L (в системе), Lq (в очереди), времена W и Wq, вероятность ожидания ρ и вероятности состояний P(n) = (1−ρ)ρⁿ (n = 0…5) с перекрёстной проверкой по формуле Литтла L = λW, Lq = λWq. Классика: λ = 4/ч, μ = 6/ч → ρ = 0.6667, L = 2, Lq = 1.3333, W = 0.5, Wq = 0.3333.

Math & Numbers

Вычисляет стационарные характеристики многоканальной СМО M/M/c (пуассоновский поток λ, c одинаковых экспоненциальных каналов с интенсивностью μ, общая очередь FCFS): выводятся нагрузка a = λ/μ, загрузка канала ρ, вероятность простоя P0, вероятность ожидания (Эрланг-C) Pw, средние Lq, L и времена W, Wq с перекрёстной проверкой по формуле Литтла и связи Pw→Lq. Требуется λ < cμ, иначе вход отклоняется как неустойчивый; при c = 1 формулы переходят в M/M/1. Классика: λ = 6/ч, μ = 3/ч, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889.

Math & Numbers

Двусторонний пересчёт между pH и концентрацией ионов водорода: [H⁺] = 10^(−pH) моль/л и pH = −log₁₀[H⁺]. Поддерживает моль/л, ммоль/л, мкмоль/л и нмоль/л (клиническая физиология использует нмоль/л: артериальная кровь pH 7,35–7,45 соответствует ≈35–45 нмоль/л; pH 7,40 ↔ 39,8 нмоль/л); диапазон pH от −3 до 16 покрывает от суперкислот до концентрированных щелочей.

Math & Numbers

Коэффициент Пуассона ν = −ε_lat/ε_long (поперечная к продольной деформации со знаком минус). Три направления: для ν введите ε_lat и ε_long; для ε_lat — ν и ε_long; для ε_long — ν и ε_lat. Растяжение: ε_long>0, ε_lat<0. Типично: сталь ≈ 0,30, алюминий ≈ 0,33, резина ≈ 0,49, пробка ≈ 0. Теоретический диапазон 0≤ν≤0,5.

Math & Numbers

Вычисляет все свойства влажного воздуха по температуре сухого термометра и одному параметру влажности (отн. влажность φ, смоченный термометр, точка росы или влагосодержание W): W, φ, точка росы, смоченный термометр, энтальпия h, удельный объём v, парциальное P_w и давление насыщения P_ws. Формула Магнуса; смоченный термометр решается итеративно. Стандартная атмосфера 101,325 кПа (настраивается). Температура в °C/K/°F; вывод в °C.

Math & Numbers

Рассчитывает расход через диафрагму по ISO 5167 (несжимаемая среда, Бернулли + коэффициент расхода C_d): A=π·d²/4, объёмный расход Q=C_d·A·√(2·ΔP/ρ), массовый расход ṁ=C_d·A·√(2·ρ·ΔP), скорость в отверстии v=C_d·√(2·ΔP/ρ). Если указан диаметр трубы D, возвращается отношение β=d/D. ΔP≥0, ρ>0, C_d по умолчанию 0,61 (диафрагма с острой кромкой). Диаметр в м/см/мм, давление в Па/кПа/бар/атм/psi, плотность в кг/м³/г/см³; объёмный расход выдаётся в м³/с, л/с, л/мин и м³/ч.

Math & Numbers

Расчёт коэффициента теплопередачи по модели последовательных термических сопротивлений для плоской стенки: полное сопротивление R_total=ΣR_i (К/Вт), тепловая проводимость G=1/R_total (Вт/К) и коэффициент по площади U=1/(R_total·A) (Вт/(м²·К)); при заданном ΔT дополнительно тепловой поток Q=ΔT/R_total (Вт). R_i — сопротивление каждого слоя (уже включает площадь, напр. конвекция R_conv=1/(h·A), теплопроводность R_cond=d/(k·A), загрязнение R_foul=R_f''/A). Вводите по одному сопротивлению в строке, минимум одно, все положительные. ΔT может быть отрицательным (обратный поток); разность в °C = разности в К, разность в °F ×5/9.

Math & Numbers

По законам подобия рассчитывает характеристики того же насоса при другой частоте вращения n или другом диаметре рабочего колеса D: режим оборотов ratio=n₂/n₁, режим диаметра ratio=D₂/D₁, Q₂=Q₁·ratio, H₂=H₁·ratio², P₂=P₁·ratio³. Q₁, H₁ и P₁ — необязательные параметры исходной рабочей точки; если все опущены, возвращается только ratio. Подача в м³/с/л/с/л/мин/м³/ч, напор в м/фт, мощность в Вт/кВт/л.с., диаметр в м/см/мм; дополнительно даются значения Q/H/P в СИ.

Math & Numbers

Вычисляет полный напор центробежного насоса H=(p_d-p_s)/(ρ·g)+Δz+(v_d²-v_s²)/(2g) (м), затем мощность потока P_fluid=ρ·g·Q·H и мощность на валу P_shaft=P_fluid/η. p_d и p_s — избыточные давления (всасывание может быть отрицательным); v_d и v_s рассчитываются по подаче и диаметрам патрубков v=4Q/(π·D²); если диаметр не указан, соответствующий скоростной напор опускается. Давление: Па/кПа/бар/атм/psi, подача: м³/с/л/с/л/мин/м³/ч, плотность: кг/м³/г/см³; мощность: Вт/кВт/л.с.

Math & Numbers

Расчёт коэффициента трения Дарси: при Re<2000 — ламинарная формула f=64/Re; в турбулентном режиме уравнение Коулбрука-Уайта решается итерационно, дополнительно выдаётся явное приближение Хааланда для перекрёстной проверки. ε в м/мм/мкм, D в м/см/мм; результат включает относительную шероховатость ε/D, число итераций и режим течения.

Math & Numbers

Расчёт перепада давления на трение по Дарси-Вейсбаху для прямой трубы: ΔP=f·(L/D)·(ρ·v²/2) Па; потеря напора h_f=ΔP/(ρ·g)=f·(L/D)·v²/(2g) м. Пользователь вводит коэффициент трения Дарси f (не Фаннинга). Единицы: длина — м/км/фт, диаметр — м/см/мм/дюйм, плотность — кг/м³/г/см³/фунт/фут³ (приводится к СИ). Выводятся кПа, бар и напор в м/фт.