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Calcula el símbolo de Jacobi (a/n) (n impar hasta 10¹⁸; Legendre si n es primo): con módulo primo, a^((n−1)/2) ≡ 1 implica residuo cuadrático y Tonelli–Shanks (o la fórmula directa si p ≡ 3 (mod 4)) entrega las raíces ±√a; el símbolo −1 certifica que a NO es residuo. Con módulo compuesto el símbolo solo es condición necesaria: −1 prueba no-residuo y +1 es inconcluso (se resuelve por fuerza bruta cuando n ≤ 10⁵). Clásico: 10 es residuo cuadrático mod 13 con raíces ±6.

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Calcula las métricas en régimen estacionario de la cola M/M/1: llegadas de Poisson (tasa λ), servicio exponencial (tasa μ), FCFS. Exige λ < μ; si no, el sistema es inestable y se rechaza la entrada. Reporta la utilización ρ, la probabilidad de sistema vacío P0, los esperados L (en sistema), Lq (en cola), los tiempos W y Wq, la probabilidad de esperar ρ y las probabilidades de estado P(n) = (1−ρ)ρⁿ (n = 0…5), con verificación cruzada por la ley de Little L = λW, Lq = λWq. Clásico: λ = 4/h, μ = 6/h → ρ = 0.6667, L = 2, Lq = 1.3333, W = 0.5, Wq = 0.3333.

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Calcula las métricas en régimen estacionario de la cola M/M/c (llegadas de Poisson a tasa λ, c servidores exponenciales idénticos de tasa μ, una cola FCFS compartida): reporta el tráfico ofrecido a = λ/μ, la utilización por servidor ρ, la probabilidad de sistema vacío P0, la probabilidad de espera Erlang-C Pw, los esperados Lq, L, W y Wq, con verificación cruzada por la ley de Little y la relación Pw→Lq. Exige λ < cμ (si no, se rechaza por inestable); con c = 1 las fórmulas colapsan en M/M/1. Clásico: λ = 6/h, μ = 3/h, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889.

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Conversión bidireccional entre pH y concentración de iones hidrógeno: [H⁺] = 10^(−pH) mol/L y pH = −log₁₀[H⁺]. Admite mol/L, mmol/L, µmol/L y nmol/L (la fisiología clínica usa nmol/L: la sangre arterial pH 7,35–7,45 equivale a ≈35–45 nmol/L; pH 7,40 ↔ 39,8 nmol/L); el rango de pH −3 a 16 cubre desde superácidos hasta bases concentradas.

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Coeficiente de Poisson ν = −ε_lat/ε_long (deformación lateral sobre longitudinal con signo menos). Tres direcciones: para ν dé ε_lat y ε_long; para ε_lat dé ν y ε_long; para ε_long dé ν y ε_lat. Convención: tracción → ε_long>0, ε_lat<0. Típico: acero ≈ 0,30, aluminio ≈ 0,33, caucho ≈ 0,49, corcho ≈ 0. Rango teórico 0≤ν≤0,5.

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Calcula todas las propiedades del aire húmedo a partir de la temperatura de bulbo seco y un dato de humedad (HR φ, bulbo húmedo, punto de rocío o relación de humedad W): W, φ, punto rocío, bulbo húmedo, entalpía h, volumen específico v, presión parcial P_w y de saturación P_ws. Fórmula de Magnus; el bulbo húmedo se resuelve iterando la ecuación psicrométrica. Atmósfera estándar 101,325 kPa (ajustable). Temp. en °C/K/°F; salida en °C.

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Calcula el flujo a través de una placa de orificio según ISO 5167 (incompresible, Bernoulli + coeficiente de descarga C_d): A=π·d²/4, caudal volumétrico Q=C_d·A·√(2·ΔP/ρ), caudal másico ṁ=C_d·A·√(2·ρ·ΔP), velocidad en el orificio v=C_d·√(2·ΔP/ρ). Si se indica el diámetro de tubería D se devuelve el ratio β=d/D. ΔP≥0, ρ>0, C_d por defecto 0,61 (placa de borde afilado). Diámetro en m/cm/mm, presión en Pa/kPa/bar/atm/psi, densidad en kg/m³/g/cm³; el caudal se da en m³/s, L/s, L/min y m³/h.

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Calcula el coeficiente global de transmisión de calor según el modelo de resistencias térmicas en serie para pared plana: resistencia total R_total=ΣR_i (K/W), conductancia térmica G=1/R_total (W/K) y coeficiente basado en área U=1/(R_total·A) (W/(m²·K)); si se da ΔT, además el flujo Q=ΔT/R_total (W). R_i es cada resistencia de capa (ya incluye el área, p. ej. convección R_conv=1/(h·A), conducción R_cond=d/(k·A), ensuciamiento R_foul=R_f''/A). Introduzca una resistencia por línea, al menos una, todas positivas. ΔT puede ser negativo (flujo en sentido contrario); diferencia en °C = diferencia en K, diferencia en °F ×5/9.

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Calcula, mediante las leyes de afinidad, el rendimiento de la misma bomba a distinta velocidad n o con distinto diámetro de impulsor D: modo velocidad ratio=n₂/n₁, modo diámetro ratio=D₂/D₁, Q₂=Q₁·ratio, H₂=H₁·ratio², P₂=P₁·ratio³. Q₁, H₁ y P₁ son parámetros opcionales del punto de operación base; si se omiten todos, solo se devuelve el ratio. Caudal en m³/s/L/s/L/min/m³/h, altura en m/ft, potencia en W/kW/hp, diámetro en m/cm/mm; también se dan los equivalentes SI de Q/H/P.

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Calcula la altura total de la bomba centrífuga H=(p_d-p_s)/(ρ·g)+Δz+(v_d²-v_s²)/(2g) (en m), y de ahí la potencia del fluido P_fluid=ρ·g·Q·H y la potencia al eje P_shaft=P_fluid/η. p_d y p_s son presiones manométricas (la succión puede ser negativa); v_d y v_s se obtienen del caudal y los diámetros de los racores como v=4Q/(π·D²); si un diámetro se deja en blanco se omite el correspondiente término de altura de velocidad. Presión en Pa/kPa/bar/atm/psi, caudal en m³/s/L/s/L/min/m³/h, densidad en kg/m³/g/cm³; la potencia se da en W/kW/hp.

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Calcula el factor de fricción de Darcy: para Re<2000 usa la fórmula laminar f=64/Re; en turbulento resuelve iterativamente la ecuación de Colebrook-White y también entrega la aproximación explícita de Haaland como verificación cruzada. ε en m/mm/µm, D en m/cm/mm; el resultado incluye la rugosidad relativa ε/D, el número de iteraciones y el régimen.

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Calcula la pérdida de presión principal (por fricción) de Darcy-Weisbach en una tubería recta: ΔP=f·(L/D)·(ρ·v²/2) Pa; pérdida de carga h_f=ΔP/(ρ·g)=f·(L/D)·v²/(2g) m. El usuario introduce el factor de fricción de Darcy f (no el de Fanning). Longitud en m/km/ft, diámetro en m/cm/mm/inch, densidad en kg/m³/g/cm³/lb/ft³ (se convierte a SI). Devuelve kPa, bar y carga en m/ft.