Welche mathematischen Funktionen werden in f(x, y) unterstützt?

Unterstützt werden Standardfunktionen wie sin, cos, exp, ln, sqrt sowie Grundrechenarten. Produkte müssen mit dem Multiplikationszeichen (*) eingegeben werden.

Wie berechnet sich die Schrittweite h?

Die Schrittweite h wird automatisch über die Formel h = (Ziel-x − x₀) / n aus dem Intervall und der Schrittanzahl berechnet.

Welche Ordnung besitzt das explizite Euler-Verfahren?

Es ist ein numerisches Einschrittverfahren 1. Ordnung mit einem globalen Diskretisierungsfehler von O(h).

Wozu dient die optionale exakte Lösung?

Sie ergänzt die Ausgabetabelle um eine Fehlerspalte, die den absoluten Abstand zwischen numerischer Näherung und exaktem Wert anzeigt.

Warum muss das Ziel-x größer als x₀ sein?

Das Verfahren führt eine Vorwärtsintegration durch, wodurch der Zielwert strikt größer als der Startwert sein muss.

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Numerischer Löser mit Euler-Verfahren (DGL 1. Ordnung)

Löst das Anfangswertproblem dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ mit dem expliziten Euler-Verfahren: y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n), mit Schrittabelle und Endschätzung. Die optionale exakte Lösung y(x) ergibt eine Fehlerspalte, die den globalen Fehler O(h) der Methode 1. Ordnung zeigt. Beispiel: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 1,1¹⁰ = 2,593742 gegenüber e = 2,718282 (Fehler 0,124539).

Ausführung

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2 Beispiele

dy/dx = y, y(0) = 1 → y(1) ≈ 2,593742 (exakt e, Fehler 0,124539)

Mit h = 0,1 gilt y_{n+1} = 1,1·y_n, also y(1) = 1,1¹⁰ = 2,593742. Gegenüber der exakten Lösung y = e^x (y(1) = e = 2,718282) beträgt der absolute Fehler 0,124539 — der Preis eines Verfahrens 1. Ordnung.

Euler's explicit method dy/dx = f(x, y) = y Start: x0 = 0, y0 = 1 → target x = 1, n = 10 steps, h = 0.1 i x_i y_i f(x_i, y_i) 0 0.000000 1.000000 1.000000 1 0.100000 1.100000 1.100000 … 10 1.000000 2.593742 2.593742 Final estimate: y(1) ≈ 2.593742 Exact y(x) = e^x: y(1) = 2.718282, |error| ≈ 0.124539

dy/dx = x + y, y(0) = 1, 5 Schritte bis x = 0,5 → y(0,5) ≈ 1,721020

Nichtautonomes Beispiel: mit h = 0,1 werden die Steigungen f(x, y) = x + y in jeder Zeile neu berechnet. Die exakte Lösung y = 2e^x − x − 1 liefert y(0,5) = 1,797443; die 5-Schritt-Schätzung von Euler weicht um etwa 0,076423 ab.

Euler's explicit method dy/dx = f(x, y) = x + y Start: x0 = 0, y0 = 1 → target x = 0.5, n = 5 steps, h = 0.1 Final estimate: y(0.5) ≈ 1.721020 Exact y(x) = 2e^x - x - 1: y(0.5) = 1.797443, |error| ≈ 0.076423

Eingaben

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7 Optionen

InhaltHaupteingaben einfügen oder eingeben.2

f(x, y) in dy/dx = f(x, y)textPflichtRight-hand side in terms of x and y (functions: sin, cos, exp, ln, sqrt, …). Write products with *, e.g. x*y.Exakte Lösung y(x) (optional)textOptionales FeldExact solution in x, used to add an error column. Leave empty to skip.

EinstellungenFormate, Bereiche, Zahlen und Modi anpassen.5

x₀ (Anfangs-x)numberPflichty₀ = y(x₀)numberPflichtZiel-xnumberPflichtMust be greater than x₀.Schrittanzahl nnumberPflichth = (target x − x₀)/n. More steps → smaller error, O(h) globally.DezimalstellennumberOptionales Feld

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1. Standard-Wachstumsmodell dy/dx = y

2. Nichtautonome DGL dy/dx = x + y

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