Welche Variable muss in den Funktionstermen verwendet werden?

Verwenden Sie in den Eingabefeldern für f(x) und g(x) immer die Variable x, welche intern als Integrationsvariable τ bzw. als Argument (t−τ) ausgewertet wird.

Was ist der Unterschied zwischen Kausalmodus und direktem Fenstermodus?

Der Kausalmodus beschränkt die Integration auf [max(τmin, 0), min(τmax, t)] für t ≥ 0, während der Fenstermodus stets über das gesamte Intervall [τmin, τmax] integriert.

Welche mathematischen Funktionen werden unterstützt?

Unterstützt werden Standardoperatoren (+, -, *, /, ^) sowie Funktionen wie exp, sin, cos, sqrt und ln.

Wie viele Zeitpunkte t können gleichzeitig berechnet werden?

Sie können 1 bis 8 durch Kommas getrennte t-Werte angeben, die in einem Durchlauf berechnet werden.

Wie beeinflusst die Anzahl der Simpson-Intervalle das Ergebnis?

Eine höhere gerade Anzahl an Intervallen (bis zu 20000) steigert die numerische Präzision, erfordert jedoch geringfügig mehr Rechenaufwand.

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Faltungsintegral-Rechner (numerisch)

Berechnet numerisch die Faltung zweier Signale (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ: Kausalmodus (beide Signale null für t<0, Integral über [max(τmin,0), min(τmax,t)] — passend zu Laplace-Bereichsprodukten) und direkter Fenstermodus (Integral über das gesamte [τmin, τmax] — passend zu beidseitigen Signalen wie Gaußkurven), mittels zusammengesetzter Simpson-Regel (standardmäßig 2000 Intervalle). Klassiker: e^(−t)*e^(−2t) = e^(−t)−e^(−2t), bei t=1 gleich 0.2325; zwei Gaußkurven falten sich zu √(π/2)·e^(−t²/2).

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2 Beispiele

e^(−t) * e^(−2t) = e^(−t) − e^(−2t) — kausale Exponentialfunktionen

Zwei kausale Exponentialfunktionen falten sich zur Differenz der Exponentialfunktionen: (f*g)(t) = e^(−t) − e^(−2t). Bei t = 0.5, 1, 2, 3 betragen die Werte 0.2387, 0.2325, 0.1170 und 0.0473, was das Simpson-Integral exakt reproduziert.

Convolution integral (composite Simpson, 2000 intervals) f(τ) = exp(-x) g(τ) = exp(-2x) Mode: causal (both signals zero for t < 0) Window: τ ∈ [0, 20] (f*g)(0.5) = 0.2387 (f*g)(1) = 0.2325 (f*g)(2) = 0.117 (f*g)(3) = 0.0473

Gauß * Gauß = √(π/2)·e^(−t²/2) — direkter Fenstermodus

Die Faltung zweier Einheits-Gaußkurven e^(−τ²) ist wieder eine Gaußkurve: √(π/2)·e^(−t²/2) ≈ 1.2533·e^(−t²/2). Integration über das Fenster [-5, 5] liefert 1.2533, 0.7602 und 0.1696 bei t = 0, 1, 2.

Convolution integral (composite Simpson, 2000 intervals) f(τ) = exp(-x^2) g(τ) = exp(-x^2) Mode: direct window (full τ range) Window: τ ∈ [-5, 5] (f*g)(0) = 1.2533 (f*g)(1) = 0.7602 (f*g)(2) = 0.1696

Eingaben

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8 Optionen

InhaltHaupteingaben einfügen oder eingeben.3

f(τ)-Ausdruck (Variable x)textPflichtFirst signal, written in the variable x. Supports + - * / ^, parentheses, and functions like exp, sin, cos, sqrt, ln.g(τ)-Ausdruck (Variable x)textPflichtSecond signal, written in the variable x (it is evaluated at t − τ inside the integral).Ausgabe-t-Werte (durch Komma getrennt)textPflicht1–8 evaluation points t at which (f*g)(t) is reported.

EinstellungenFormate, Bereiche, Zahlen und Modi anpassen.5

ModusselectPflichtFensteranfang τminnumberOptionales FeldLower integration bound.Fensterende τmaxnumberOptionales FeldUpper integration bound.Simpson-IntervallenumberOptionales FeldNumber of Simpson subintervals per integral (even, 100–20000).DezimalstellennumberOptionales Feld

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1. Faltung zweier kausaler Exponentialfunktionen

2. Faltung zweier Gauß-Kurven im Fenstermodus

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