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Löst f(x) = 0 mit der Newton-Raphson-Iteration x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k): Die Ableitung kann analytisch angegeben werden (bleibt das Feld leer, wird eine numerische zentrale Differenz verwendet); ausgegeben werden die Iterationstabelle (x_k und f(x_k)), das Abbruchkriterium (|f| < Toleranz oder |Δx| < Toleranz·max(1,|x|)), die Iterationszahl und das endgültige |f(Wurzel)|. Klassiker: x²−2 konvergiert von x₀=1 in 4 Schritten gegen √2 ≈ 1.4142135624; cos(x)−x konvergiert gegen die Dottie-Zahl 0.7390851332. Nullableitung, divergierende Schritte oder das Überschreiten des Iterationslimits werden explizit gemeldet.

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Zerlegt die rationale Funktion F(x) = N(x)/D(x) in Partialbrüche (Nennergrad ≤ 6, Zähler ≤ 8; unechte Brüche werden zuerst durch Polynomdivision geteilt): Wurzeln des Nenners nach Durand–Kerner, gruppiert nach Vielfachheit und konjugierten Paaren, exaktes lineares Koeffizientensystem für Terme A/(x−r)^j und (Bx+C)/((x−α)²+β²) sowie numerische Restprüfung an algebraischen Testpunkten. Klassiker: (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2); (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1); 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)².

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Skaliert die Zutatenliste eines Rezepts auf eine neue Portionszahl und rechnet Tassen/EL/TL ⇄ Gramm/ml mit Zutatendichten und küchenfreundlichen Brüchen um.

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Umrechnung der magnetischen Permeabilität (μ): H/m (absolut, SI) ↔ relative μ_r (dimensionslos). Vakuumpermeabilität μ₀=4π×10⁻⁷ H/m. Beziehungen: μ=μ_r×μ₀, μ_r=μ/μ₀, χ=μ_r−1. SI-Äquivalente: 1 H/m = 1 N/A² = 1 T·m/A. Ref.: Vakuum μ_r=1, Kupfer 0,999994, Aluminium 1,000022, Eisen ~5000.

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Umrechnung der Radioaktivität: Bq (SI-Basis=1 Zerfall/s) ↔ kBq/MBq/GBq ↔ Ci (1=3,7×10¹⁰ Bq, exakte ICRU-Definition 1950) ↔ mCi/µCi ↔ dpm (1=1/60 Bq). Umrechnung über Bq ins Ziel mit allen 8 Äquivalenten. Ref.: Banane K-40 ~15 Bq, Rauchmelder Am-241 ~37 kBq.

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Umrechnung der absorbierten Dosis: Gy (Gray=J/kg, SI-Basis) ↔ kGy (1=1000) ↔ cGy (1=0,01) ↔ mGy (1=0,001) ↔ rad (1=0,01). Umrechnung über Gy mit allen fünf Äquivalenten. ⚠️ Absorbierte Dosis ≠ Äquivalentdosis: Gy→Sv erfordert Wichtungsfaktor w_R (X/γ/β=1, Neutronen=5–20, α=20). Ref.: Röntgen ~1e-4, CT ~1e-2, Radiotherapie ~2 Gy.

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Umrechnung der Äquivalentdosis: Sv (Sievert, SI-Basis) ↔ mSv (1=0,001) ↔ µSv (1=1e-6) ↔ rem (1=0,01) ↔ mrem (1=1e-5). Umrechnung über Sv mit allen fünf Äquivalenten. ⚠️ Äquivalent ≠ absorbiert: Sv→Gy erfordert Division durch w_R (X/γ/β=1, Neutronen=5–20, α=20). Ref.: Hintergrund ~3 mSv/Jahr, CT ~7 mSv, Berufsgranze ~50 mSv/Jahr, ARS ~1 Sv.

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Sättigungsdruck-Temperatur-Umrechnung gängiger Kältemittel über ln(P)=A−B/(T+C): R-22 (HCFC-22), R-134a (HFC-134a), R-410A (R-32/R-125-Gemisch, nahe azeotrop). Koeffizienten an ASHRAE/NIST-REFPROP-Tabellen angepasst. Zwei Modi: P aus T oder T aus P. Absolut- oder Überdruck (Atm. 1,01325 bar), Einheiten bar/MPa/kPa/PSI; Temperatur °C/K/°F. Nur Ingenieur-Schätzwert.

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Ansprechzeit eines Überstromrelais nach IEC 60255-151: t = TMS·(k/((I/I_s)^α − 1)). Kurven SI/VI/EI/LTI und Abtastung der T-I-Kennlinie.

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Berechnet die Bewehrungsfläche A = n·πD²/4. Wählen Sie einen Standarddurchmesser (6–40 mm) oder einen benutzerdefinierten und die Stabanzahl; Ausgabe der Einzelstabfläche, des Umfangs, des theoretischen Metergewichts (ρ=7850 kg/m³) und des Gesamtgewichts.

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Berechnet den Abstand und die Anzahl der Bewehrungsstäbe auf einer Breite b. Vom Abstand: n = floor(b/s)+1, Stäbe/m = 1000/s; von der Anzahl: s = b/(n−1).

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Rechnet zwischen pH, [H+], pOH und [OH-] um, berechnet den pH-Wert aus der Konzentration einer starken Säure/Base sowie den pH-Wert nach Verdünnung. Basierend auf Kw = 1×10⁻¹⁴ (25 °C).