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计算 Jacobi 符号 (a/n)（n 为奇数，可达 10¹⁸；素数时即 Legendre 符号）：素数模下 a^((n−1)/2) ≡ 1 判定为二次剩余，并用 Tonelli–Shanks（或 p ≡ 3 (mod 4) 时的直接公式）给出平方根 ±√a；符号为 −1 则 a 一定不是二次剩余。合数模下 Jacobi 符号只是必要条件：−1 证明非剩余，+1 不确定（n ≤ 10⁵ 时自动暴力枚举求真相）。经典例：10 是 mod 13 的二次剩余，根为 ±6。

计算 M/M/1 单服务台排队系统的稳态指标：泊松到达（率 λ）、指数服务（率 μ）、FCFS。要求 λ < μ，否则系统不稳定（队列无限增长）并按业务拒绝处理。输出利用率 ρ、系统空闲概率 P0、系统中平均人数 L、队列平均等待人数 Lq、平均逗留时间 W、平均等待时间 Wq、顾客需等待的概率 ρ，以及状态概率 P(n) = (1−ρ)ρⁿ（n = 0…5），并用 Little 公式 L = λW、Lq = λWq 交叉验证。经典例：λ = 4/小时、μ = 6/小时 → ρ = 0.6667、L = 2、Lq = 1.3333、W = 0.5、Wq = 0.3333。

计算 M/M/c 多服务台排队系统的稳态指标（泊松到达率 λ、c 个相同指数服务台、各台服务率 μ、共享 FCFS 队列）：给出通达量 a = λ/μ、每台利用率 ρ、系统空闲概率 P0、Erlang-C 等待概率 Pw、队列平均人数 Lq、系统平均人数 L、平均逗留时间 W 与等待时间 Wq，并用 Little 公式与 Pw→Lq 关系交叉验证。要求 λ < cμ，否则按业务拒绝（不稳定）；c = 1 时公式退化为 M/M/1。经典例：λ = 6/小时、μ = 3/小时、c = 3 → P0 = 0.1111、Pw = 0.4444、Lq = 0.8889、L = 2.8889。

pH 与氢离子浓度双向换算：[H⁺] = 10^(−pH) mol/L，pH = −log₁₀[H⁺]。支持 mol/L、mmol/L、µmol/L、nmol/L（临床生理学习惯用 nmol/L：动脉血 pH 7.35–7.45 对应约 35–45 nmol/L，pH 7.40 ↔ 39.8 nmol/L），pH 范围 −3～16 覆盖超强酸到浓碱。

泊松比 ν = −ε_横/ε_纵（横向应变与纵向应变之比加负号）。三向反算：求 ν 给 ε_lat、ε_long；求 ε_lat 给 ν、ε_long；求 ε_long 给 ν、ε_lat。约定：拉伸时 ε_long>0、ε_lat<0。典型：钢 ≈ 0.30、铝 ≈ 0.33、橡胶 ≈ 0.49、软木 ≈ 0。理论范围 0≤ν≤0.5，超出会提示。

由干球温度 + 一种湿度输入（相对湿度 φ、湿球温度、露点温度或含湿量 W）计算湿空气全部状态参数：含湿量 W、相对湿度 φ、露点、湿球、焓 h、比容 v、水蒸气分压 P_w、饱和水蒸气分压 P_ws。采用 Magnus 饱和蒸汽压公式，湿球经热力学 psychrometric 方程迭代求解。默认标准大气 101.325 kPa（可改）。温度支持 °C/K/°F，结果以 °C 输出。

按 ISO 5167 不可压缩薄壁孔板（Bernoulli + 流量系数 C_d）计算孔板流量：A=π·d²/4，体积流量 Q=C_d·A·√(2·ΔP/ρ)，质量流量 ṁ=C_d·A·√(2·ρ·ΔP)，孔板处流速 v=C_d·√(2·ΔP/ρ)。若提供管径 D 则给出直径比 β=d/D。压差 ΔP≥0，密度 ρ>0，C_d 默认 0.61（锐缘孔板）。直径支持 m/cm/mm，压力支持 Pa/kPa/bar/atm/psi，密度支持 kg/m³/g/cm³；体积流量同时输出 m³/s、L/s、L/min、m³/h。

按平壁热阻串联模型计算总传热系数：总热阻 R_total=ΣR_i（K/W），热导 G=1/R_total（W/K），基于面积的传热系数 U=1/(R_total·A)（W/(m²·K)）；若给定温差 ΔT，另算热流量 Q=ΔT/R_total（W）。R_i 为各层热阻（已含面积因子，如对流 R_conv=1/(h·A)、导热 R_cond=d/(k·A)、污垢 R_foul=R_f''/A）。每行输入一个热阻值，至少一个，且均需为正。ΔT 可为负（表示反向热流）；°C 温差与 K 温差相等，°F 温差需乘 5/9。

根据泵相似定律计算同一台泵在不同转速 n 或不同叶轮直径 D 下的性能：转速模式 ratio=n₂/n₁，直径模式 ratio=D₂/D₁，Q₂=Q₁·ratio，H₂=H₁·ratio²，P₂=P₁·ratio³。Q₁、H₁、P₁ 为可选的原始工况参数，若全部留空则仅返回 ratio。流量支持 m³/s/L/s/L/min/m³/h，扬程支持 m/ft，功率支持 W/kW/hp，叶轮直径支持 m/cm/mm，并额外给出 Q/H/P 的 SI 换算值。

计算离心泵总扬程 H=(p_d-p_s)/(ρ·g)+Δz+(v_d²-v_s²)/(2g)（单位 m），并由此求流体功率 P_fluid=ρ·g·Q·H 与轴功率 P_shaft=P_fluid/η。p_d、p_s 均为表压（进口若为吸上可填负值）；v_d、v_s 由流量和进出口管径按 v=4Q/(π·D²) 计算，若对应管径留空则略去该侧速度头。压力支持 Pa/kPa/bar/atm/psi，流量支持 m³/s/L/s/L/min/m³/h，密度支持 kg/m³/g/cm³，功率输出 W/kW/hp。

计算达西摩擦系数：Re<2000 用层流闭式 f=64/Re；湍流用 Colebrook-White 方程迭代求解，并提供 Haaland 显式近似作交叉校验。ε 支持 m/mm/µm，D 支持 m/cm/mm，结果包含相对粗糙度 ε/D、迭代次数及流态判定。

计算直管段的达西-韦斯巴赫主要（摩擦）压降：ΔP=f·(L/D)·(ρ·v²/2) Pa；水头损失 h_f=ΔP/(ρ·g)=f·(L/D)·v²/(2g) m。用户直接输入达西摩擦系数 f（非范宁系数）。长度支持 m/km/ft，管径支持 m/cm/mm/inch，密度支持 kg/m³/g/cm³/lb/ft³，内部统一换算为 SI。同时输出 kPa、bar 以及 m/ft 水头。