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Calcula el símbolo de Jacobi (a/n) (n impar hasta 10¹⁸; Legendre si n es primo): con módulo primo, a^((n−1)/2) ≡ 1 implica residuo cuadrático y Tonelli–Shanks (o la fórmula directa si p ≡ 3 (mod 4)) entrega las raíces ±√a; el símbolo −1 certifica que a NO es residuo. Con módulo compuesto el símbolo solo es condición necesaria: −1 prueba no-residuo y +1 es inconcluso (se resuelve por fuerza bruta cuando n ≤ 10⁵). Clásico: 10 es residuo cuadrático mod 13 con raíces ±6.
Ejecución
Completa el formulario, ejecuta la herramienta y revisa el resultado en un solo lugar.
Ejemplos
Relacionado
Guía de uso de la herramienta
Esta herramienta calcula el símbolo de Jacobi o Legendre para determinar si un número es un residuo cuadrático módulo n. Emplea el test determinista de Miller–Rabin para verificar la primalidad de n y, cuando el módulo es primo y existe solución, ejecuta el algoritmo de Tonelli–Shanks para hallar las raíces cuadradas modulares exactas.
Contexto
Necesita comprobar si 10 tiene raíz cuadrada módulo 13 para completar una tarea de teoría de números.
Problema
Determinar si x² ≡ 10 (mod 13) tiene solución y encontrar los valores explícitos de x.
Cómo usarlo
Introduce a = 10, n = 13 y activa la casilla para resolver raíces cuadradas.
Resultado
El símbolo de Legendre resulta +1 y Tonelli–Shanks devuelve las raíces verificadas x = 6 y x = 7.
Contexto
Analiza propiedades de residuos cuadráticos en módulos compuestos pequeños.
Problema
Comprobar si 2 es residuo cuadrático módulo 15 cuando el símbolo de Jacobi da +1.
Cómo usarlo
Introduce a = 2, n = 15 y ejecuta la verificación.
Resultado
El símbolo de Jacobi es +1, pero la verificación por fuerza bruta confirma que x² ≡ 2 (mod 15) no tiene solución.
El de Legendre se define solo para módulos primos impares, mientras que el de Jacobi extiende la definición a cualquier entero impar compuesto.
Solo si n es primo. Para módulos compuestos es una condición necesaria pero no suficiente; la herramienta usa fuerza bruta en n ≤ 10⁵ para decidirlo.
Utiliza el algoritmo de Tonelli–Shanks, o la fórmula directa x ≡ a^((n+1)/4) mod n cuando el primo cumple n ≡ 3 (mod 4).
El módulo impar n admite valores entre 3 y 10¹⁸, mientras que el valor a puede tener hasta 10⁵¹² dígitos antes de reducirse módulo n.
Certifica de forma definitiva que 'a' no es un residuo cuadrático módulo n, tanto para módulos primos como compuestos.