Comment la taille du pas h est-elle déterminée ?

La taille du pas est calculée automatiquement par la formule h = (x_cible - x₀) / n, où n correspond au nombre de pas défini.

Quelles fonctions sont reconnues dans l'expression f(x, y) ?

Vous pouvez employer les fonctions usuelles comme sin, cos, exp, ln, sqrt ainsi que les puissances et les opérateurs de base en utilisant * pour les multiplications.

Pourquoi l'erreur globale est-elle en O(h) ?

La méthode d'Euler explicite est une méthode d'ordre 1 : l'erreur locale de troncature à chaque pas est en O(h²), ce qui conduit à une erreur globale accumulée proportionnelle à h.

Le renseignement de la solution exacte est-il obligatoire ?

Non, ce champ est facultatif. Il sert uniquement à afficher une colonne d'erreur absolue pour comparer la solution approchée à la valeur exacte.

La valeur cible de x peut-elle être inférieure à x₀ ?

Non, l'outil nécessite une valeur cible strictement supérieure à x₀ pour effectuer l'intégration numérique vers l'avant.

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Solveur numérique par méthode d'Euler (EDO premier ordre)

Résout le problème de Cauchy dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ par la méthode d'Euler explicite : y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n), avec tableau des itérations et estimation finale. La solution exacte y(x), optionnelle, ajoute une colonne d'erreur qui illustre l'erreur globale en O(h) de la méthode d'ordre 1. Exemple : dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 1,1¹⁰ = 2,593742 contre e = 2,718282 (erreur 0,124539).

Exécution

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2 exemples

dy/dx = y, y(0) = 1 → y(1) ≈ 2,593742 (exacte e, erreur 0,124539)

Avec h = 0,1, les itérées d'Euler vérifient y_{n+1} = 1,1·y_n, d'où y(1) = 1,1¹⁰ = 2,593742. Comparé à la solution exacte y = e^x (y(1) = e = 2,718282), l'erreur absolue vaut 0,124539 — le prix d'une méthode d'ordre 1.

Euler's explicit method dy/dx = f(x, y) = y Start: x0 = 0, y0 = 1 → target x = 1, n = 10 steps, h = 0.1 i x_i y_i f(x_i, y_i) 0 0.000000 1.000000 1.000000 1 0.100000 1.100000 1.100000 … 10 1.000000 2.593742 2.593742 Final estimate: y(1) ≈ 2.593742 Exact y(x) = e^x: y(1) = 2.718282, |error| ≈ 0.124539

dy/dx = x + y, y(0) = 1, 5 pas jusqu'à x = 0,5 → y(0,5) ≈ 1,721020

Exemple non autonome : avec h = 0,1 les pentes f(x, y) = x + y sont recalculées à chaque ligne. La solution exacte y = 2e^x − x − 1 donne y(0,5) = 1,797443 ; l'estimation d'Euler en 5 pas s'écarte d'environ 0,076423.

Euler's explicit method dy/dx = f(x, y) = x + y Start: x0 = 0, y0 = 1 → target x = 0.5, n = 5 steps, h = 0.1 Final estimate: y(0.5) ≈ 1.721020 Exact y(x) = 2e^x - x - 1: y(0.5) = 1.797443, |error| ≈ 0.076423

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7 réglages

ContenuCollez ou saisissez les valeurs principales.2

f(x, y) dans dy/dx = f(x, y)textRequisRight-hand side in terms of x and y (functions: sin, cos, exp, ln, sqrt, …). Write products with *, e.g. x*y.Solution exacte y(x) (facultatif)textOptionnelExact solution in x, used to add an error column. Leave empty to skip.

RéglagesAjustez formats, plages, nombres et modes.5

x₀ (x initial)numberRequisy₀ = y(x₀)numberRequisx ciblenumberRequisMust be greater than x₀.Nombre de pas nnumberRequish = (target x − x₀)/n. More steps → smaller error, O(h) globally.DécimalesnumberOptionnel

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Exemples

1. Résolution de l'EDO linéaire dy/dx = y

2. Intégration d'une équation non autonome dy/dx = x + y

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