Quelle variable utiliser pour définir les fonctions f et g ?

Utilisez la variable x dans les champs d'expression ; l'outil substitue automatiquement x par τ et t − τ lors du calcul de l'intégrale.

Quelle est la différence entre le mode causal et le mode fenêtre directe ?

Le mode causal restreint l'intégration à l'intervalle [max(τmin, 0), min(τmax, t)], tandis que le mode fenêtre directe intègre sur l'ensemble de [τmin, τmax].

Combien de points temporels t peut-on évaluer à la fois ?

Vous pouvez saisir entre 1 et 8 valeurs de t distinctes, séparées par des virgules.

Comment augmenter la précision du calcul numérique ?

Augmentez le nombre d'intervalles de Simpson (jusqu'à 20 000) et ajustez le nombre de décimales affichées.

Quelles fonctions mathématiques sont reconnues par le parseur ?

Le calculateur accepte les opérateurs usuels (+, -, *, /, ^) et les fonctions exp, sin, cos, sqrt et ln.

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Calculateur d'intégrale de convolution (numérique)

Calcule numériquement la convolution de deux signaux (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ : mode causal (les deux signaux sont nuls pour t<0, intégrale sur [max(τmin,0), min(τmax,t)], adapté aux produits du domaine de Laplace) et mode fenêtre directe (intégrale sur tout [τmin, τmax], adapté aux signaux bilatéraux comme les gaussiennes), par la règle de Simpson composée (2000 intervalles par défaut). Classiques : e^(−t)*e^(−2t) = e^(−t)−e^(−2t), soit 0.2325 en t=1 ; deux gaussiennes se convoluent en √(π/2)·e^(−t²/2).

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2 exemples

e^(−t) * e^(−2t) = e^(−t) − e^(−2t) — exponentielles causales

Deux exponentielles causales se convoluent en la différence des exponentielles : (f*g)(t) = e^(−t) − e^(−2t). En t = 0.5, 1, 2, 3 les valeurs sont 0.2387, 0.2325, 0.1170 et 0.0473, que l'intégrale de Simpson reproduit.

Convolution integral (composite Simpson, 2000 intervals) f(τ) = exp(-x) g(τ) = exp(-2x) Mode: causal (both signals zero for t < 0) Window: τ ∈ [0, 20] (f*g)(0.5) = 0.2387 (f*g)(1) = 0.2325 (f*g)(2) = 0.117 (f*g)(3) = 0.0473

Gaussienne * Gaussienne = √(π/2)·e^(−t²/2) — mode fenêtre directe

La convolution de deux gaussiennes unitaires e^(−τ²) est encore une gaussienne : √(π/2)·e^(−t²/2) ≈ 1.2533·e^(−t²/2). En intégrant sur la fenêtre [-5, 5], on obtient 1.2533, 0.7602 et 0.1696 en t = 0, 1, 2.

Convolution integral (composite Simpson, 2000 intervals) f(τ) = exp(-x^2) g(τ) = exp(-x^2) Mode: direct window (full τ range) Window: τ ∈ [-5, 5] (f*g)(0) = 1.2533 (f*g)(1) = 0.7602 (f*g)(2) = 0.1696

Entrées

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8 réglages

ContenuCollez ou saisissez les valeurs principales.3

Expression de f(τ) (variable x)textRequisFirst signal, written in the variable x. Supports + - * / ^, parentheses, and functions like exp, sin, cos, sqrt, ln.Expression de g(τ) (variable x)textRequisSecond signal, written in the variable x (it is evaluated at t − τ inside the integral).Valeurs t en sortie (séparées par des virgules)textRequis1–8 evaluation points t at which (f*g)(t) is reported.

RéglagesAjustez formats, plages, nombres et modes.5

ModeselectRequisDébut de fenêtre τminnumberOptionnelLower integration bound.Fin de fenêtre τmaxnumberOptionnelUpper integration bound.Intervalles de SimpsonnumberOptionnelNumber of Simpson subintervals per integral (even, 100–20000).DécimalesnumberOptionnel

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1. Convolution de deux exponentielles causales

2. Convolution de deux signaux gaussiens

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