Einsteins Geschwindigkeitsaddition u = (v + u′)/(1 + v·u′/c²): Die Zusammensetzung zweier unterlichtschneller Geschwindigkeiten bleibt stets unterlichtschnell, und die Zusammensetzung mit c ergibt exakt c — die Invariantgeschwindigkeit steckt in der Formel selbst. Aushängebeispiel: 0.5c + 0.5c = 0.8c, wo die galiläische Summe das Licht längst überträfe; und die Verfolgung eines Photons mit 0.9c liefert weiterhin u = c. Eingabe als β-Paar oder m/s-Paar; u′ darf exakt c sein (Photon).

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Normalisierungskonstanten-Rechner für Wellenfunktionen

Löst die Normierungskonstante A (so dass ∫|ψ|²dx = 1) für die klassischen Familien: unendlicher Kasten ψ = A·sin(nπx/L) gibt A = √(2/L); Gauß A·exp(−x²/(2σ²)) gibt A = (πσ²)^(−1/4); Oszillator-Grundzustand A·exp(−mωx²/(2ℏ)) gibt A = (mω/πℏ)^(1/4); einseitige Exponentialfunktion A·exp(−αx) gibt A = √(2α). Mit Einheitswahrscheinlichkeitsprobe und Momenten ⟨x⟩, σ_x.

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Dünne-Linsen-Gleichung-Rechner

Abbildungsgleichung der dünnen Linse 1/f = 1/u + 1/v (reell-positiv-Konvention): aus zwei beliebigen Größen wird die dritte gelöst, samt Vergrößerung m = −v/u, Bildart (v > 0 reell und umgekehrt, v < 0 virtuell und aufrecht) und Brechkraft P = 1/f in Dioptrien. Die Beispiele decken die zwei Klassiker ab: das reelle Bild des Projektors (u = 15 cm, f = 10 cm) und das virtuelle Bild der Lupe (u = 5 cm). Abstände in mm/cm/m.

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Zeitdilatations-Rechner

Speziell-relativistische Zeitdilatation Δt = γ·Δτ (γ = 1/√(1−v²/c²)): Die Geschwindigkeit wird als Bruchteil von c oder in m/s eingegeben, und das Intervall kann der bewegten Uhr (Eigenzeit) oder dem Beobachter im Ruhesystem gehören — das Werkzeug zeigt beide Sichten. Bei 0.6c ist γ = 1.25 exakt; und v = 0.998c dehnt die 2.2-µs-Lebensdauer eines Myons auf 34.8 µs — der Grund, warum kosmische Myons den Meeresspiegel erreichen.

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Quantentunnelwahrscheinlichkeits-Rechner

Quantentunneln durch eine Rechteckbarriere: Elektron/Proton/eigene Masse, Höhe V₀ (eV), Breite a (nm) und Energie E. Ausgegeben werden die Abklingkonstante κ = √(2m(V₀−E))/ℏ, κa, die WKB-Transmission T ≈ e^(−2κa) neben dem exakten Rechteckergebnis sowie die Reflexion R = 1−T. Liegt E über der Barriere, greift die Streuformel oberhalb — auch dort reflektiert die Quantenmechanik teilweise.

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Rechner zur Heisenbergschen Unschärferelation

Drei Anwendungen der Unschärferelation Δx·Δp ≥ ℏ/2: minimale Impulsunschärfe Δp = ℏ/(2Δx) aus Δx; minimales Δx aus Δp; oder Prüfung eines (Δx, Δp)-Paars mit Verhältnis. Längen in m/mm/µm/nm/pm, Impulse in kg·m/s, g·cm/s oder eV/c; eine optionale Masse übersetzt Δp in eine Geschwindigkeitsbreite Δv = Δp/m (mit Anteil von c).

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Stern-Gerlach-Ablenkungsrechner

Strahlaufspaltung im Stern-Gerlach-Versuch: Ein Spin-1/2-Atom (Moment μ_z = ±μ) erfährt im Gradienten G = dB/dz die Kraft F = μ_z·G, beschleunigt mit a = μ_z·G/m im Magneten und driftet dann frei zum Schirm. Die Vorgabewerte reproduzieren das historische Silber-Experiment: zwei diskrete Flecken statt eines klassischen Schmierflecks — die direkte Beobachtung der Raumquantisierung.

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Osmotischer Druck-Rechner

Der osmotische Druck π = i·M·R·T in der erweiterten Version: van't-Hoff-Faktor i für Elektrolyte, Kelvin/Celsius-Umschalter, Ausgabe in atm, kPa, bar und mmHg sowie ein Molmassen-Modus, der das Gesetz mit gemessenem π, Temperatur und Massenkonzentration (g/l) umkehrt zu M = π/(i·R·T) und MW = c/M — die übliche Praxis der Membrancharakterisierung. Anker: 0.1 M Saccharose bei 25 °C gibt π = 2.44653 atm; eine 1 g/l-Proteinlösung mit π = 1 Torr bei 25 °C löst sich zu MW ≈ 18593.6 g/mol (≈ 18.59 kDa).

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pH aus der Konzentration

Der pH-Wert direkt aus der Ausgangskonzentration: Starke Säuren und Basen gelten als vollständig dissoziiert ([H⁺] = n·c bzw. [OH⁻] = n·c mit pH = 14 − pOH bei 25 °C); schwache lösen Ka = x²/(c−x) exakt über die p-q-Formel und liefern den Dissoziationsgrad α samt 5%-Regel-Urteil. Anker: 0.01 M HCl → pH 2; 0.01 M Essigsäure (Ka = 1.8×10⁻⁵) → pH 3.382, α = 4.15%; 0.1 M Ammoniak (Kb = 1.8×10⁻⁵) → pH 11.125.

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Raoult-Gesetz-Rechner

Raoult-Gesetz für ideale Lösungen: p_i = x_i·p_i*. Der Ein-Komponenten-Modus liefert den Partialdruck und seine Absenkung gegenüber der reinen Flüssigkeit; der Binärmodus nimmt x_A, p_A* und p_B* und liefert beide Partialdrücke, den Gesamtdampfdruck p = x_A·p_A* + x_B·p_B* sowie den Dampfmengenanteil y_A = p_A/p — die Anreicherung der flüchtigeren Komponente, auf der die fraktionierte Destillation beruht. Anker: äquimolares Benzol (95.1 Torr) + Toluol (28.4 Torr) bei x_A = 0.5 geben p = 61.75 Torr mit y_A = 0.77; Wasser bei x = 0.85 und p* = 23.76 Torr gibt p = 20.196 Torr.

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Reaktionsordnung-Bestimmer

Bestimmt die Reaktionsordnung aus Anfangsgeschwindigkeitsdaten: ein Versuch pro Zeile — „[A] Geschwindigkeit“ für einen Stoff (Log-Log-Ausgleich von v = k·[A]ⁿ) oder „[A] [B] Geschwindigkeit“ für zwei Stoffe (klassische Paarmethode: bei festem [B] gilt n_A = log(v₂/v₁)/log([A]₂/[A]₁)). Werte innerhalb von 0.05 einer ganzen Zahl werden als ganzzahlige Ordnung deklariert, k wird aus jedem Versuch zurückgerechnet und gemittelt. Anker: 0.10→0.20→0.40 M verdoppelt bei Geschwindigkeit 0.02→0.08→0.32 ergibt n = 2, k = 2; A verdoppelt bei festem B (Geschwindigkeit ×2) und B bei festem A (×4) ergibt v = k[A]¹[B]², Gesamtordnung 3.

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Reaktionsgeschwindigkeits-Konstanten-Schätzer

Schätzt die Geschwindigkeitskonstante bei beliebiger Temperatur aus einem Referenzpunkt und der Aktivierungsenergie: k₂ = k₁·e^(−Ea/R·(1/T₂ − 1/T₁)). Die Quotientenmethode kürzt den präexponentiellen Faktor — A wird nicht benötigt — und k₂ erbt die Einheit von k₁ (ordnungsabhängig). Ea wird in kJ/mol, kcal/mol oder J/mol akzeptiert und in allen dreien ausgegeben. Anker: Mit k = 0.05 bei 25 °C und Ea = 60 kJ/mol ergibt sich bei 50 °C k = 0.325 (6.5×); mit k = 1.2×10⁻³ bei 300 K und Ea = 20 kcal/mol bei 350 K k = 0.145 (121×).