Erwartungswert-Rechner für Wellenfunktionen

Erwartungswert-Rechner für Wellenfunktionen | Kostenloses Online-Tool | Elysia Tools

Leitfaden zur Tool-Nutzung

Erfahren Sie, wann dieses Tool passt, was es unterstützt und wie Nutzer es anwenden.

Wichtige Fakten

Kategorie: Science & Education
Eingabetypen: textarea
Ausgabetyp: text
Sample-Abdeckung: 4
API bereit: Ja

Überblick

Der Erwartungswert-Rechner für Wellenfunktionen berechnet aus diskreten Stichproben einer reellen Wellenfunktion ψ(x) numerisch das Normierungsintegral ⟨ψ|ψ⟩, die Erwartungswerte ⟨x⟩ und ⟨x²⟩ sowie die Ortsunschärfe σ_x mittels Trapezregel.

Wann verwenden

Wenn quantenmechanische Wellenfunktionen nur als diskrete Datensätze oder Tabellen vorliegen.
Zur schnellen Bestimmung des Normierungsintegrals ⟨ψ|ψ⟩ = ∫ψ² dx ohne manuelle Integration.
Zur Analyse von Aufenthaltswahrscheinlichkeiten, Mittelwerten ⟨x⟩ und Standardabweichungen σ_x in physikalischen Simulationen oder Übungen.

So funktioniert es

1Fügen Sie Mess- oder Simulationspunkte zeilenweise als Paare von Ort und Amplitude („x ψ(x)“) in das Textfeld ein.
2Das Tool sortiert alle Datenpunkte automatisch nach aufsteigenden x-Werten und prüft auf eindeutige Stützstellen.
3Über die Trapezregel werden die Integrale für ⟨ψ|ψ⟩ = ∫ψ² dx, ∫x·ψ² dx und ∫x²·ψ² dx berechnet.
4Die normalisierten Erwartungswerte ⟨x⟩, ⟨x²⟩ sowie die Standardabweichung σ_x = √(⟨x²⟩ − ⟨x⟩²) werden direkt ausgegeben.

Anwendungsfälle

Überprüfung von Übungsaufgaben zur Quantenmechanik bezüglich Normierung und Erwartungswerten.
Auswertung diskreter Eigenfunktionen aus numerischen Schrödinger-Gleichungs-Solvern.
Statistische Analyse von Gaußschen Wellenpaketen und deren Ortsverteilung.

Beispiele

1. Symmetrisches Gauß-Wellenpaket

Physikstudent

Hintergrund

Für ein Quantenmechanik-Praktikum soll die Breiten- und Mittelwertbestimmung eines zentrierten Gauß-Pakets ψ(x) = exp(−x²/2) nachgewiesen werden.

Aufgabe

Diskrete Abtastwerte im Bereich x = −3 bis 3 müssen integriert und der Erwartungswert validiert werden.

Verwendung

Die Stützstellen von x = −3.0 bis 3.0 im Abstand von 0.5 mit den zugehörigen ψ-Werten in das Textfeld einfügen.

Ergebnis

Das Tool liefert ⟨ψ|ψ⟩ = 1.772387, ⟨x⟩ ≈ 0 (symmetrisch) und σ_x = 0.706874, was sehr nah am analytischen Wert 1/√2 liegt.

2. Verschobenes Gauß-Wellenpaket

Dozent für Theoretische Physik

Hintergrund

In der Vorlesung soll demonstriert werden, wie sich eine Verschiebung des Maximums auf ⟨x⟩ auswirkt.

Aufgabe

Erwartungswerte eines um x = 1 verschobenen Pakets mit begrenztem Integrationsbereich sollen numerisch ermittelt werden.

Verwendung

Stützstellen für ψ(x) = exp(−(x−1)²/2) im Intervall [-3, 3] zeilenweise eingeben.

Ergebnis

Ergebnis zeigt ⟨x⟩ = 0.993342 und σ_x = 0.698162, wodurch der Einfluss der endlichen Bereichsgrenzen sichtbar wird.

FAQ

Welches Format müssen die Eingabedaten haben?

Geben Sie pro Zeile genau ein Wertepaar aus x und ψ(x) ein, getrennt durch ein Leerzeichen oder Tabulator.

Können komplexe Wellenfunktionen verarbeitet werden?

Nein, dieser Rechner ist ausschließlich für reellwertige Wellenfunktionen ψ(x) ausgelegt.

Müssen die Datenpunkte äquidistant und sortiert eingegeben werden?

Nein, die Stützstellen werden automatisch sortiert und variable Schrittweiten werden von der Trapezregel unterstützt, solange x-Werte eindeutig sind.

Warum weichen die Ergebnisse leicht von analytischen Lösungen ab?

Die Berechnung basiert auf numerischer Trapezintegration und wird durch Schrittweite sowie Schnittgrenzen der diskreten Stichproben beeinflusst.

Wie wird die Standardabweichung σ_x definiert?

Sie entspricht der Streuung der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte um den Erwartungswert: σ_x = √(⟨x²⟩ − ⟨x⟩²).

Dieses Tool ausführen

Beispiele zu diesem Tool

Mit verwandten Tools und Themen fortfahren

Erfahren Sie, wann dieses Tool passt, was es unterstützt und wie Nutzer es anwenden.

Wichtige Fakten

Überblick

Wann verwenden

So funktioniert es

Anwendungsfälle

Beispiele

1. Symmetrisches Gauß-Wellenpaket

2. Verschobenes Gauß-Wellenpaket

FAQ

MP3 Audio-Beispiele ohne Urheberrechte

WAV Audio-Beispiele ohne Urheberrechte

Urheberrechtsfreie Roh-PCM-Audio-Beispiele

Sprach-, Lern- und Sicherheitsbeispiele

Compton-Streuung-Rechner

Beugungsgitter-Rechner

Maxwell-Spannungstensor-Rechner

Rechner für den optischen Wegunterschied