势能 V(x) & |Ψ(x,t)|²
能谱 |cₙ|²
本征态分量
量子叠加、时间演化和波函数测量坍缩在各种势阱中的交互式可视化
量子系统可以同时处于多个本征态的叠加中：Ψ(x,0) = c₁ψ₁ + c₂ψ₂ + ...系数cₙ是复数，|cₙ|²代表测量时发现系统处于态n的概率。这与经典物理根本不同——电子不是处于态1或态2，而是同时处于两者之中。cₙ之间的相位关系在概率密度|Ψ|²中产生干涉图样。
每个本征态以相位因子随时间演化：ψₙ(x,t) = ψₙ(x)e^{-iEₙt/ℏ}。总波函数Ψ(x,t) = Σcₙψₙ(x)e^{-iEₙt/ℏ}是相位旋转本征态的叠加。概率密度|Ψ|²会发生振荡，因为不同能量分量之间的相对相位以频率ωₙₘ = (Eₙ-Eₘ)/ℏ变化。如果只有一个本征态存在，|Ψ|²是静态的——所有动力学都来自不同能级之间的干涉。
马克斯·玻恩1926年法则：在位置x处发现粒子的概率为|Ψ(x,t)|²dx。当进行测量时，波函数'坍缩'——系统瞬时跳到某个本征态，概率为|cₙ|²。这不是一个平滑过程，而是不连续的跳跃。坍缩是物理实在（哥本哈根诠释）还是表观的（多世界、退相干）仍有争议，但统计预测完全相同且经过极好的实验检验。
最简单的量子系统：粒子被限制在x=0和x=L之间的两个不可穿透壁之间。波函数ψₙ(x) = √(2/L)sin(nπx/L)在边界处为零。能量Eₙ = n²π²ℏ²/(2mL²)按平方增长——间距随n增大。基态(n=1)具有非零能量（零点能）——粒子不可能静止不动。这是不确定性原理的直接结果：将粒子限制在小区域需要大的动量不确定性，因此有大的动能。
与无限深势阱不同，壁的高度有限V₀。波函数在经典禁戒区|x|>L/2中指数衰减：ψ ~ e^{-κx}，其中κ = √(2m(V₀-E)/ℏ²)。这种向势垒中的'隧穿'是纯量子效应——经典上，粒子不可能存在于E
V(x) = ½mω²x²，物理学中最重要的势。任何光滑势在其最小值附近近似为谐振子（泰勒展开）。本征态使用厄米多项式：ψₙ(x) = NₙHₙ(ξ)e^{-ξ²/2}。独特性质：等间距能级Eₙ = (n+½)ℏω。这意味着叠加态相干振荡——概率密度以周期T = 2π/ω精确周期性变化（'相干态'）。应用：分子振动、声子、量子场、激光物理。
两个有限深势阱被势垒隔开。关键现象是通过势垒的量子隧穿：局域在一个势阱中的粒子可以自发出现在另一个势阱中。最低两个能量态被一个小能量ΔE分裂——一个对称（ψ₁+ψ₂），一个反对称（ψ₁-ψ₂）。从一个势阱开始的粒子以频率ΔE/ℏ在两个势阱间振荡。这模拟了：氨分子翻转（用于第一个原子钟）、超导电路中的量子比特、氢键中的质子隧穿、化学异构化。
量子测量与经典观测根本不同。测量前，系统处于叠加态Ψ = Σcₙψₙ。一旦测量能量，系统'坍缩'到单一本征态ψₖ，概率为|cₖ|²。坍缩后，所有能级间的干涉消失——系统现在处于确定的能量状态。重复相同测量必然得到相同结果。这种不可逆投影是量子力学中最具争议的方面。
哥本哈根诠释：坍缩是测量引起的真实物理过程。多世界诠释：没有坍缩——宇宙分裂成分支，每个分支看到一个结果。退相干：与环境的相互作用迅速抑制干涉项，使坍缩实际上不可逆，无需新物理。QBism：量子态代表观察者的知识，而非客观实在。所有诠释做出相同的实验预测——差异是哲学的。实用共识：闭嘴计算。
薛定谔1935年思想实验：密封箱中的猫与放射性原子、盖革计数器和毒药瓶。如果原子衰变（量子事件），毒药释放。打开箱子前，猫是活的、死的，还是处于叠加态|活⟩+|死⟩？这突出了宏观尺度的测量问题。现代解决方案：来自环境（空气分子、热辐射）的退相干几乎瞬时坍缩猫的状态——宏观叠加在实践中不可能实现，不仅仅是原则上。