空
已占据
普通簇
渗透簇
渗流理论与跨越簇涌现的交互式可视化
渗流理论研究随机系统中连通性如何涌现。考虑一个网格，每个点以概率 p 被占据。相邻的占据点形成簇。随着 p 增加，簇生长并合并。在临界阈值 p_c ≈ 0.593 处，跨越簇突然出现连接整个系统——这是连续相变。
簇较小且不连通。最大簇大小为 O(1)。不存在全局连通性。
幂律簇大小分布。分形跨越簇，维数 91/48 ≈ 1.896。与晶格细节无关的普适行为。
存在唯一的无限簇。最大簇大小为 O(N)。系统全局连通。
在 p_c 附近，系统表现出由临界指数表征的普适行为。对于二维渗流：
这些指数是普适的——对所有二维晶格甚至连续渗流都相同。
流行病模型使用渗流来预测疾病爆发阈值。低于临界感染率，疾病会消亡；高于临界值，疫情会传播。
带有随机导电填料的复合材料的导电性。渗流阈值决定材料何时变得导电。
栖息地破碎化和物种连通性。低于阈值，种群被隔离；高于阈值，迁移成为可能。
通信网络对随机故障的恢复能力。使网络断开连接所需失效节点的临界比例。
渗流理论由数学家 Broadbent 和 Hammersley 于 1957 年在研究带有多孔碳滤料的防毒面具时引入。他们问：孔隙何时连接形成连续路径？这导致了渗流理论的发展，成为统计物理学和临界现象研究的基石。二维方格渗流的位点占据临界阈值被证明约为 0.593。