Kuramoto 同步模型

关于 Kuramoto 模型

Kuramoto 模型（1975）描述了耦合振荡器的同步现象，这种现象在自然界中广泛存在：萤火虫同步闪烁、神经元集体放电、共享平台上节拍器的同步，以及超导约瑟夫森结的锁相。Yoshiki Kuramoto 证明了即使微弱的耦合也能驱动具有不同固有频率的振荡器系统通过尖锐的相变实现集体同步。

每个振荡器 i 的相位 theta_i 按以下方程演化：d(theta_i)/dt = omega_i + (K/N) * SUM_j sin(theta_j - theta_i)，其中 omega_i 是从宽度为 Delta 的高斯分布中抽取的固有频率，K 是耦合强度，N 是振荡器数量。序参量 r * exp(i*psi) = (1/N) * SUM_j exp(i*theta_j) 衡量全局相干性：r=0 表示无序，r=1 表示完全同步。高斯分布的临界耦合约为 K_c = 2*Delta*sqrt(2/pi)。

在临界耦合 K_c 以下，振荡器独立运行，r 保持在零附近。在 K_c 处发生相变：一部分振荡器锁定在一起，r 急剧上升。超过 K_c 后，越来越多的振荡器加入同步簇，r 趋近于 1。这种集体涌现类似于统计力学中的相变，使 Kuramoto 模型成为理解复杂系统中同步现象的范式模型。

使用耦合强度滑块 K 控制同步程度。从 K=0（无序状态）开始，逐渐增大 K 观察相变过程。相位圆上每个振荡器显示为彩色点（蓝色=慢速，红色=快速）。同步时，点会显著聚集。序参量时间序列 r(t) 实时跟踪全局相干性。尝试预设按钮快速跳转到不同状态。调节频率展宽和振荡器数量来探索多样性和群体规模如何影响同步阈值。