伊辛模型可视化

统计力学中的相变与临界现象 - 交互式蒙特卡洛模拟

Wilhelm Lenz (1920) · Ernst Ising (1925) · Lars Onsager (1944)

温度 Temperature (T) 2.27
T/Tc 1.00
能量 E -1.50
磁化强度 |M| 0.85
蒙特卡洛步数 0

模拟控制

低温 2.27 高温
临界温度 Tc ≈ 2.269
-2.0 0.0 +2.0
反铁磁 -1.0 1.0 铁磁 +1.0
20 50 100
1 20 100

能量演化

磁化强度演化

伊辛模型理论

伊辛模型是统计力学中最具标志性的模型之一，描述了晶格上自旋的相互作用行为。

哈密顿量 Hamiltonian

H = -J Σ<ij> sᵢsⱼ - h Σᵢ sᵢ
  • sᵢ = ±1 - 自旋方向（上/下）
  • J - 耦合常数（J>0铁磁，J<0反铁磁）
  • h - 外磁场强度
  • Σ<ij> - 近邻自旋求和

里程碑

  • 1920 - Wilhelm Lenz 提出模型
  • 1925 - Ernst Ising 求解一维情形（无相变）
  • 1944 - Lars Onsager 精确求解二维情形（发现相变）

相变现象

临界温度 Critical Temperature

Tc = 2/ln(1+√2) ≈ 2.269

在临界温度附近，系统经历从有序到无序的转变。

三个区域

低温区 T < Tc

铁磁有序相。自发性对称破缺，大部分自旋指向同一方向，磁化强度 |M| > 0。

临界点 T ≈ Tc

临界涨落。出现大尺度团簇，临界慢化现象，磁化率发散。

高温区 T > Tc

顺磁无序相。自旋随机排列，平均磁化强度 M = 0。

Metropolis-Hastings 算法

使用蒙特卡洛方法模拟系统的热力学行为。

算法步骤

  1. 随机选择一个自旋 sᵢ
  2. 计算翻转后的能量变化 ΔE
  3. 如果 ΔE ≤ 0，接受翻转
  4. 如果 ΔE > 0，以概率 exp(-ΔE/kT) 接受翻转
  5. 重复 N×N 次为一个蒙特卡洛步

接受概率

P(accept) = min(1, e^(-ΔE/kT))
注意： 在临界点附近，系统表现出"临界慢化"现象，收敛速度显著变慢。可以使用 Wolff 算法（团簇翻转）来加速。

观察指南

低温铁磁性 (T < 2.0)

设置 T ≈ 1.5，观察大区域同色。这是铁磁有序态，自发对称破缺。

临界涨落 (T ≈ 2.27)

设置 T = 2.27，观察大尺度团簇的形成和消亡。这是最有趣的区域！

高温顺磁性 (T > 3.0)

设置 T ≈ 4.0，观察自旋随机翻转。这是无序的顺磁态。

外磁场效应

调节外磁场 h，观察自旋方向的偏置。h > 0 倾向于向上，h < 0 倾向于向下。

反铁磁相 (J < 0)

设置 J = -1.0，低温时形成条纹状的反铁磁有序态。

交互式公式理解

H

总能量

系统的哈密顿量，代表系统的总能量。系统倾向于能量最低的状态。

-J Σ sᵢsⱼ

相互作用项

近邻自旋的相互作用能。J > 0 时，同向自旋能量低（铁磁）；J < 0 时，反向自旋能量低（反铁磁）。

-h Σ sᵢ

外场项

外磁场对自旋的作用能。h > 0 时，向上自旋能量低；h < 0 时，向下自旋能量低。