Duffing 方程：
ÿ + δẏ + αy + βy³ = γ cos(ωt)
时域响应
时间 (t)
位置 (x)
相图
位置 (x)
速度 (ẋ)
庞加莱截面
位置 (x)
速度 (ẋ)
势能面
位置 (x)
V(x)
动能：
0.000
势能：
0.000
总能量：
0.000
最大位置：
0.000
最大速度：
0.000
模拟时间：
0.00
系统参数
初始条件
模拟设置
预设参数
理论与背景
概述
Duffing 振子是非线性动力系统的经典例子，展现出丰富多样的行为，包括周期运动、周期倍化和混沌。它模拟了一个具有非线性恢复力的阻尼驱动振子。
方程
方程为：ÿ + δẏ + αy + βy³ = γ cos(ωt)，其中 δ 是阻尼，α 和 β 是线性和非线性刚度系数，γ 是驱动力幅度，ω 是驱动力频率。
双阱势
当 α < 0 且 β > 0 时，系统具有双阱势，有两个稳定平衡点。粒子可以在一个阱中振荡或在阱之间跳跃，导致复杂的动力学行为。
混沌与敏感性
对于某些参数值，系统表现出混沌行为，其特征是对初始条件的敏感性、相空间中的奇异吸引子以及宽功率谱。
参数指南
阻尼 (δ)
控制能量耗散。较高的值导致振荡更快衰减。δ = 0 给出保守运动。
线性系数 (α)
决定势能形状。α > 0：单阱（硬弹簧）。α < 0：具有两个稳定平衡点的双阱。
非线性系数 (β)
控制三次非线性的强度。β > 0 产生硬化弹簧效应，β < 0 产生软化效应。
驱动力幅度 (γ)
周期驱动力的强度。增加 γ 会导致周期倍化并过渡到混沌。
驱动力频率 (ω)
周期驱动的频率。在固有频率附近发生共振，导致大幅度振荡。
可视化指南
时域图
显示位置 x(t) 随时间的变化。周期运动显示重复模式，而混沌表现为不规则且不可预测。
相图
绘制速度与位置的关系。闭合环表示周期运动。具有分形结构的奇异吸引子表示混沌。
庞加莱截面
每个驱动周期对状态进行一次采样。周期运动显示离散点。混沌显示类似分形的点分布。
势能
显示势能面 V(x) = -½αx² + ¼βx⁴。双阱有两个最小值。单阱有一个最小值。
应用领域
- 机械振动和结构工程
- 非线性电路
- 生物振荡器和神经系统
- 气候动力学和种群模型
- 量子力学类比