参数设置
随机游走类型
初始条件
操作
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预设场景
动画速度
30 FPS平均位置 ⟨x⟩
均方位移 ⟨x²⟩
扩散系数 D
方差 σ²
位置分布
均方位移与时间
数学分析
位移分布
P(x,t) = (4πDt)^(-1/2) × exp(-x²/4Dt)
方差为 2Dt 的高斯分布
爱因斯坦关系
⟨x²⟩ = 2Dt
均方位移随时间线性增长
几何布朗运动
dS = μS dt + σS dW_t
S_t = S_0 × exp((μ - σ²/2)t + σW_t)
股票价格模型（Black-Scholes）
简单随机游走
S_{n+1} = S_n + ξ_n, ξ_n ∈ {-1, +1}
Var(S_n) = n
离散模型会收敛到布朗运动
维纳过程性质
- W₀ = 0（从原点开始）
- 增量独立
- Wₜ - Wₛ ~ N(0, t-s)
- 路径连续（几乎必然）
尺度律
x ~ √t (diffusion scaling)
位移翻倍通常需要 4 倍时间
从花粉到股价
Robert Brown 的发现
苏格兰植物学家 Robert Brown 在显微镜下观察到水中花粉颗粒的不规则运动。起初他以为这是生命活动，后来发现无机颗粒也会出现相同行为。
Bachelier 的论文
Louis Bachelier 在爱因斯坦之前 5 年就用随机游走研究股价波动。他的《投机理论》为数理金融奠定了基础。
爱因斯坦理论
Albert Einstein 用分子运动理论解释了布朗运动，推导出扩散方程和关系式 ⟨x²⟩ = 2Dt，为原子理论提供了关键证据。
⟨x²⟩ = 2Dt = (k_B T / 3πηr) × t
Perrin 的实验
Jean Perrin 通过精密实验验证了爱因斯坦的预测，并因此获得 1926 年诺贝尔奖。他的工作最终说服了许多人接受原子的存在。
Wiener 的数学形式化
Norbert Wiener 为布朗运动建立了严格的数学基础，构造了 Wiener 测度并证明了路径性质，成为随机微积分的核心。
Black-Scholes 公式
Fisher Black、Myron Scholes 与 Robert Merton 用几何布朗运动建立了期权定价公式，深刻改变了现代金融市场。
C = S·N(d₁) - K·e^(-rT)·N(d₂)
数学基础
1. 简单随机游走（离散）
最简单的随机过程：每一步以相同概率向 ±1 移动。
S_0 = 0, S_{n+1} = S_n + ξ_n
P(ξ_n = +1) = P(ξ_n = -1) = 0.5
E[S_n] = 0, Var(S_n) = n
经过 n 步后，典型位移尺度为 √n。
2. 连续极限（尺度变换）
令步长 ε、时间步长 δ 趋于很小，并保持 ε²/δ = 2D 不变。
lim_{n→∞} S_{[nt]} / √n → W_t (Wiener process)
由中心极限定理可知，极限会趋于高斯过程。
3. 布朗运动（维纳过程）
一种具有高斯增量的连续时间随机过程。
W_0 = 0
W_t - W_s ~ N(0, t-s) for t > s
Independent increments: W_t - W_s ⊥ W_s
Continuous paths (almost surely)
其路径连续，但处处不可导。
4. 扩散方程（Fokker-Planck）
概率密度满足热方程形式的演化。
∂P/∂t = D ∂²P/∂x²
P(x,t) = (4πDt)^(-1/2) × exp(-x²/4Dt)
解是方差为 2Dt 的高斯分布。
5. Itô 微积分（随机积分）
含有布朗噪声的过程需要新的微积分工具。
dX_t = μ dt + σ dW_t
Itô Lemma: df(X,t) = f_x dX + (1/2)f_xx σ² dt + f_t dt
(dW_t)² = dt (quadratic variation)
关键在于二阶项不能忽略，因为 (dWₜ)² = dt。
6. 几何布朗运动
用于股票价格的模型，保证价格为正且服从对数正态分布。
dS/S = μ dt + σ dW_t
S_t = S_0 × exp((μ - σ²/2)t + σW_t)
E[S_t] = S_0 e^{μt}
Var(S_t) = S_0² e^{2μt}(e^{σ²t} - 1)
log(Sₜ/S₀) 服从正态分布。
金融应用
为什么股票常用几何布朗运动？
- 指数形式保证价格始终为正。
- 模型更适合描述收益率，而不是价格本身。
- 对数正态分布常能较好近似市场数据。
- 模型足够简单，便于得到解析解。
漂移 μ 与波动率 σ
μ 表示预期收益或趋势，σ 表示随机性与风险。
σ 越高，价格波动越大，通常要求更高的风险补偿。
μ 越高，上行趋势越强，预期收益越高。
Black-Scholes 期权定价
欧式看涨期权赋予持有人在到期时以执行价 K 买入股票的权利。
C = S·N(d₁) - K·e^(-rT)·N(d₂)
d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2)T] / (σ√T)
d₂ = d₁ - σ√T
N(·) 是标准正态分布函数，核心思想是构造无风险对冲组合。
风险中性定价
在完备市场中，价格等于风险中性测度下收益的贴现期望。
Price = e^(-rT) × E_Q[Payoff]
将真实漂移 μ 替换为无风险利率 r。
希腊值（风险指标）
- Δ (Delta): ∂Price/∂S (hedging ratio)
- Γ (Gamma): ∂²Price/∂S² (convexity)
- ν (Vega): ∂Price/∂σ (volatility sensitivity)
- Θ (Theta): ∂Price/∂T (time decay)
- ρ (Rho): ∂Price/∂r (interest rate sensitivity)
蒙特卡洛模拟
当缺乏解析解时，可通过大量随机路径进行估计。
S_{i+1} = S_i × exp((μ - σ²/2)dt + σ√dt·Z)
where Z ~ N(0,1)
本可视化正是采用这种方法模拟路径。
虚拟实验室
实验 1：验证爱因斯坦关系
检验模拟中是否满足 ⟨x²⟩ = 2Dt。
- 设置 D = 1.0，dt = 0.01。
- 让 50 个粒子从原点出发。
- 运行到 T = 10.0（1000 步）。
- 查看 MSD 图中的回归斜率。
- 理论斜率应为 2D = 2.0。
实验 2：中心极限定理
观察简单 ±1 步长如何逐渐形成高斯分布。
- 选择“简单随机游走”。
- 使用 100 个粒子，全部从原点开始。
- 观察 100、500、1000 步后的直方图。
- 与理论高斯曲线比较。
实验 3：漂移的影响
常数漂移会如何改变分布？
- 设置漂移 μ = 0.5，D = 1.0。
- 运行模拟并观察 ⟨x⟩。
- 理论预期：⟨x⟩ = μt。
- 方差仍为 2Dt，说明漂移影响位置但不影响扩散宽度。
实验 4：股价模拟
比较不同市场情景。
- 切换到金融模式。
- 尝试不同的 μ 与 σ 组合。
- 牛市示例：μ = 0.15，σ = 0.2。
- 熊市示例：μ = -0.05，σ = 0.3。
- 观察盈利与亏损的概率差异。
实验 5：期权定价
通过模拟理解 Black-Scholes 定价。
- 设定 S₀ = 100，K = 100，T = 1 年。
- 模拟 1000 条价格路径。
- 计算看涨期权收益 max(Sₜ - K, 0)。
- 求平均并贴现：e^(-rT) × E[payoff]。
- 与 Black-Scholes 公式结果比较。