交互式 Arnold 猫映射可视化：(x', y') = ((x+y) mod N, (x+2y) mod N)。反复迭代打乱图像，但在恰好 K 步后完美恢复——混沌中隐藏的秩序。
经典 Arnold 猫映射是环面上的保面积变换：(x', y') = ((x+y) mod 1, (x+2y) mod 1)，矩阵为 A = [[1,1],[1,2]]，因此 det(A)=1。本页允许您探索更广的整数参数族 A = [[1,a],[b,1+ab]]；这族矩阵按构造始终满足 det(A)=1，所以所有当前设置都保持面积。经典的混沌行为出现在 (a,b)=(1,1) 这类双曲情形，而 a=0 或 b=0 时会退化为剪切型、非双曲映射。在有限的 N×N 像素网格上，每个可逆整数映射都会呈现精确周期，因此恰好 K 步后图像会恢复原状。
经典猫映射是一个原型性的双曲环面自同构：邻近点会指数分离，图像也会快速在环面上混合。这种图景只适用于本页中的双曲参数设置，即特征值实且互异的情况。当 a=0 或 b=0 时，映射会变成抛物型甚至恒等映射，不再具有同样强烈的混沌拉伸-折叠结构。离散像素网格仍会让每个可逆案例表现出精确周期，这也是同一页面里“打乱”与“完美恢复”并存的原因。
Arnold 型环面映射适合用来演示图像打乱、可逆混合、数字水印和有限状态周期性。不过在实际应用中，仅靠周期 K 和矩阵参数并不足以构成现代安全加密；它更适合作为“确定性打乱 + 精确恢复”的教学模型。双曲参数设置同时也是连接哈密顿混沌、遍历论与保守动力学的经典桥梁。
上传您自己的图片或选择内置图案。点击「步进 →」执行一次迭代，或使用滑块跳到任意缓存步数。按「播放」观看图像被打乱并在周期 K 处恢复；「跳到周期」会直接跳到 K-1，也就是恢复前一步。调整 a 和 b 改变矩阵 A = [[1,a],[b,1+ab]]，并观察统计中的动力学类型标签如何在恒等、抛物型和双曲型之间切换。改变 N 会以新的网格大小重新采样当前源图像，因此可以比较周期变化，而不会丢掉当前选中的图案。