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收益矩阵
点击单元格查看分析。金色单元格表示纳什均衡。箭头显示最佳响应。
玩家A
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最佳响应动态
玩家如何响应对手策略的可视化表示。箭头指向更好的响应。
混合策略分析器
调整概率以查看期望收益如何变化。当玩家无差异时达到纳什均衡。
玩家A的策略
玩家B的策略
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纳什均衡求解器
自动分析当前博弈中的所有纳什均衡。
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纳什均衡是博弈论中的一个概念，即在考虑了对手的选择后，没有玩家有动力偏离他们选择的策略。
数学定义:
设 (s₁*, s₂*, ..., sₙ*) 为一个策略组合，其中 sᵢ* 是玩家 i 的策略。
如果对于所有玩家 i，满足以下条件，则这是一个纳什均衡：
uᵢ(sᵢ*, s₋ᵢ*) ≥ uᵢ(sᵢ, s₋ᵢ*) for all sᵢ ∈ Sᵢ
其中:
- uᵢ = 玩家 i 的效用函数
- sᵢ* = 玩家 i 的均衡策略
- s₋ᵢ* = 所有其他玩家的策略
- Sᵢ = 玩家 i 所有可能的策略集合
最佳响应是在给定其他玩家策略的情况下，使玩家收益最大化的策略。
定义:
策略 sᵢ* 是对 s₋ᵢ* 的最佳响应，如果：
uᵢ(sᵢ*, s₋ᵢ*) = max(uᵢ(sᵢ, s₋ᵢ*)) for all sᵢ ∈ Sᵢ
关键见解:
纳什均衡是一个策略组合，其中每个玩家都在对其他玩家的策略做出最佳响应。
约翰·纳什证明，每个有限博弈至少有一个纳什均衡（在纯策略或混合策略中）。
定理陈述:
每个具有有限玩家数量和有限策略集的博弈都至少有一个纳什均衡。
含义:
- 纯策略纳什均衡可能不存在
- 但混合策略均衡总是存在
- 不动点定理保证存在性
经济学
寡头垄断竞争、拍卖设计、价格战和市场进入决策。
生物学
进化稳定策略、动物行为和进化博弈论。
政治学
投票系统、国际关系、军备竞赛和政策选择。
计算机科学
网络路由、算法博弈论和分布式系统。
虽然纳什均衡是一个强大的概念，但它有几个局限性:
- 并非总是最优: 囚徒困境表明，纳什均衡可能比其他结果帕累托更差。
- 多重均衡: 许多博弈有多个纳什均衡，使得预测变得困难。
- 理性假设: 假设所有玩家都是完全理性的，这在现实中可能不成立。
- 共同知识: 要求所有玩家都知道均衡，并且其他玩家也知道。