Исследуйте обобщение множества Мандельброта - z_{n+1}=z_n^p+c
Множество Мультиброт (полиномиальное семейство итераций) является обобщением множества Мандельброта, определенным как множество всех комплексных чисел c, для которых итерационная формула z_{n+1} = z_n^p + c не расходится. Когда p=2 она становится классическим множеством Мандельброта, p=3 соответствует множеству Трикорн, а другие значения p производят фракталы с различными формами. Степень p может быть любым действительным числом, включая нецелые, создавая бесконечно разнообразные фрактальные структуры.
Для каждой точки c на комплексной плоскости мы начинаем с z_0 = 0 и повторно применяем итерационную формулу z_{n+1} = z_n^p + c. Комплексная степенная операция использует формулу z^p = e^{p(ln|z| + i·arg(z))}, где arg(z) является аргументом комплексного числа (главный диапазон -π до π). Если после достаточных итераций |z_n| все еще не превышает 2, точка считается принадлежащей множеству Мультиброт (отображается черным). Если |z_n| превышает 2, точка уходит в бесконечность, и мы окрашиваем по скорости ухода (количество итераций).
Множество Мультиброт демонстрирует богатые явления в комплексной динамике. При изменении степени p связность, симметрия и граничная сложность фрактала претерпевают значительные изменения. Целые степени производят вращательную симметрию (p-кратную симметрию), в то время как нецелые степени нарушают симметрию, создавая уникальные асимметричные паттерны. Это семейство фракталов является важным инструментом для изучения комплексного полиномиального итерирования, теории хаоса и фрактальной геометрии.
Попробуйте различные значения степени, чтобы наблюдать изменения во фрактальной морфологии. Начните с p=2 (классический Мандельброт), затем постепенно увеличивайте или уменьшайте p. Исследуйте граничные области, где существуют самые богатые детали. Нецелые значения p (например, 2.5, 3.7) производят особенно интересные паттерны. Увеличение количества итераций показывает более мелкие граничные детали, но снижает скорость рендеринга.