Пусто
Занято
Обычный Кластер
Пронизывающий Кластер
Интерактивная визуализация теории перколяции и возникновения пронизывающих кластеров
Теория перколяции изучает, как возникает связность в случайных системах. Рассмотрим решетку, где каждая ячейка занята с вероятностью p. Соседние занятые ячейки образуют кластеры. При увеличении p кластеры растут и сливаются. При критическом пороге p_c ≈ 0,593 внезапно появляется пронизывающий кластер, соединяющий всю систему — это непрерывный фазовый переход.
Кластеры малы и не связаны. Размер самого большого кластера масштабируется как O(1). Глобальная связность отсутствует.
Степенное распределение размеров кластеров. Фрактальный пронизывающий кластер с размерностью 91/48 ≈ 1,896. Универсальное поведение, независимо от деталей решетки.
Существует единственный бесконечный кластер. Размер самого большого кластера масштабируется как O(N). Система глобально связана.
Около p_c система демонстрирует универсальное поведение, характеризуемое критическими показателями. Для 2D-перколяции:
Эти показатели универсальны — одинаковые для всех 2D-решеток и даже для континуальной перколяции.
Модели эпидемий используют перколяцию для предсказания порогов вспышек заболеваний. Ниже критической скорости заражения болезни умирают; выше нее — эпидемии распространяются.
Проводимость композитных материалов со случайными проводящими наполнителями. Порог перколяции определяет, когда материал становится электрически проводящим.
Фрагментация мест обитания и связность видов. Ниже порога популяции изолированы; выше — миграция становится возможной.
Устойчивость коммуникационных сетей к случайным сбоям. Критическая доля узлов, которые должны выйти из строя, чтобы отключить сеть.
Теория перколяции была введена математиками Бродбентом и Хаммерсли в 1957 году при изучении противогазов с пористыми угольными фильтрами. Они спросили: когда поры соединяются, чтобы образовать непрерывный путь? Это привело к развитию теории перколяции, которая стала краеугольным камнем статистической физики и изучения критических явлений. Порог перколяции на квадратной решетке 2D был доказан как приблизительно 0,593 для узельной перколяции.