Визуализация модели Изинга

Фазовые переходы и критические явления в статистической механике - Интерактивное моделирование Монте-Карло

Вильгельм Ленц (1920) · Эрнст Изинг (1925) · Ларс Онсагер (1944)

Температура (T) 2.27
T/Tc 1.00
Энергия E -1.50
Намагниченность |M| 0.85
Шаги Монте-Карло 0

Управление симуляцией

Низкая 2.27 Высокая
Критическая температура Tc ≈ 2.269
-2.0 0.0 +2.0
Антиферро -1.0 1.0 Ферро +1.0
20 50 100
1 20 100

Эволюция энергии

Эволюция намагниченности

Теория модели Изинга

Модель Изинга - одна из самых знаковых моделей в статистической механике, описывающая поведение взаимодействия спинов на решетке.

Гамильтониан

H = -J Σ<ij> sᵢsⱼ - h Σᵢ sᵢ
  • sᵢ = ±1 - Направление спина (вверх/вниз)
  • J - Константа связи (J>0 ферромагнитный, J<0 антиферромагнитный)
  • h - Сила внешнего магнитного поля
  • Σ<ij> - Сумма по спинам ближайших соседей

Вехи

  • 1920 - Вильгельм Ленц предлагает модель
  • 1925 - Эрнст Изинг решает 1D случай (нет фазового перехода)
  • 1944 - Ларс Онсагер точно решает 2D случай (открывает фазовый переход)

Феномены фазового перехода

Критическая температура

Tc = 2/ln(1+√2) ≈ 2.269

Около критической температуры система претерпевает переход от упорядоченного к неупорядоченному состоянию.

Три режима

Низкая температура T < Tc

Ферромагнитная упорядоченная фаза. Спонтанное нарушение симметрии, большинство спинов указывают в одном направлении, намагниченность |M| > 0.

Критическая точка T ≈ Tc

Критические флуктуации. Появляются крупномасштабные кластеры, критическое замедление, магнитная восприимчивость расходится.

Высокая температура T > Tc

Парамагнитная неупорядоченная фаза. Спины ориентированы случайным образом, средняя намагниченность M = 0.

Алгоритм Метрополиса-Хастингса

Использование методов Монте-Карло для моделирования термодинамического поведения системы.

Шаги алгоритма

  1. Случайно выбрать спин sᵢ
  2. Вычислить изменение энергии ΔE если перевернуть
  3. Если ΔE ≤ 0, принять переворот
  4. Если ΔE > 0, принять с вероятностью exp(-ΔE/kT)
  5. Повторить N×N раз для одного шага Монте-Карло

Вероятность принятия

P(accept) = min(1, e^(-ΔE/kT))
Примечание: Около критической точки система демонстрирует феномен 'критического замедления' со значительно более медленной сходимостью. Алгоритм Вольфа (переворот кластеров) может использоваться для ускорения.

Руководство по наблюдению

T-ферромагнетизм (T < 2.0)

Установить T ≈ 1.5, наблюдать большие области одного цвета. Это ферромагнитное упорядоченное состояние со спонтанным нарушением симметрии.

Критические флуктуации (T ≈ 2.27)

Установить T = 2.27, наблюдать формирование и смерть крупномасштабных кластеров. Это самая интересная область!

T-парамагнетизм (T > 3.0)

Установить T ≈ 4.0, наблюдать случайные перевороты спинов. Это неупорядоченное парамагнитное состояние.

Эффект внешнего поля

Регулировать внешнее поле h, наблюдать смещение в направлении спина. h > 0 предпочитает вверх, h < 0 предпочитает вниз.

Антиферромагнитная фаза (J < 0)

Установить J = -1.0, полосообразное антиферромагнитное упорядоченное состояние формируется при низкой температуре.

Интерактивное понимание формул

H

Полная энергия

Гамильтониан системы, представляющий полную энергию. Система стремится к состоянию с наименьшей энергией.

-J Σ sᵢsⱼ

Член взаимодействия

Энергия взаимодействия спинов ближайших соседей. J > 0: одинаковое направление имеет более низкую энергию (ферромагнитный); J < 0: противоположное направление имеет более низкую энергию (антиферромагнитный).

-h Σ sᵢ

Член внешнего поля

Энергия внешнего поля, действующего на спины. h > 0: спины вверх имеют более низкую энергию; h < 0: спины вниз имеют более низкую энергию.