Множество Мандельброта
Фрактал, определяемый комплексным квадратичным многочленом z_{n+1} = z_n² + c, где z_0 = 0. Точки, остающиеся ограниченными при итерации, образуют множество.
Формула: z_{n+1} = z_n² + c
Самоподобие появляется в любом масштабе при приближении к границе.
Множества Жюлиа
Для каждой комплексной константы c множество Жюлиа J_c состоит из точек z_0, чьи орбиты остаются ограниченными при z_{n+1} = z_n² + c.
Связность: Множество Жюлиа связно, если c в множестве Мандельброта, иначе это множество Кантора.
Папоротник Барнсли
Система итерируемых функций (IFS), генерирующая папоротниковый фрактал. Каждая точка преобразуется одной из четырёх аффинных преобразований, выбираемых вероятностно.
Преобразования:
x_{n+1} = 0, y_{n+1} = 0.16y_n
x_{n+1} = 0.85x_n + 0.04y_n, y_{n+1} = -0.04x_n + 0.85y_n + 1.6
x_{n+1} = 0.20x_n - 0.26y_n, y_{n+1} = 0.23x_n + 0.22y_n + 1.6
x_{n+1} = -0.15x_n + 0.28y_n, y_{n+1} = 0.26x_n + 0.24y_n + 0.44
Фрактальное Дерево (Дерево Пифагора)
Фрактал, построенный рекурсивным добавлением меньших веток к каждой ветви, демонстрирующий самоподобие и экспоненциальный рост.
Количество веток: N = 2^{глубина+1} - 2
Каждая ветвь является масштабированной копией всего дерева.
Размерность Методом Коробок
Метод оценки фрактальной размерности путём покрытия множества коробками размера ε и подсчёта сколько коробок N(ε) содержат часть фрактала.
Результаты:
D = lim_{ε→0} (log N(ε) / log(1/ε))
Наклон log(N) против log(1/ε) даёт фрактальную размерность.