Параметры
Тип случайного блуждания
Начальное условие
Действия
Параметры отображения
Предустановки
Скорость анимации
30 FPSСредняя позиция ⟨x⟩
Среднеквадратичное смещение ⟨x²⟩
Коэффициент диффузии D
Дисперсия σ²
Распределение положений
Среднеквадратичное смещение по времени
Математический анализ
Распределение смещения
P(x,t) = (4πDt)^(-1/2) × exp(-x²/4Dt)
Гауссово распределение с дисперсией 2Dt
Соотношение Эйнштейна
⟨x²⟩ = 2Dt
Среднеквадратичное смещение растет линейно со временем
Геометрическое броуновское движение
dS = μS dt + σS dW_t
S_t = S_0 × exp((μ - σ²/2)t + σW_t)
Модель цены акции (Black-Scholes)
Простое случайное блуждание
S_{n+1} = S_n + ξ_n, ξ_n ∈ {-1, +1}
Var(S_n) = n
Дискретная версия сходится к броуновскому движению
Свойства процесса Винера
- W₀ = 0 (старт из начала координат)
- Независимые приращения
- Wₜ - Wₛ ~ N(0, t-s)
- Непрерывные траектории (почти наверное)
Закон масштабирования
x ~ √t (diffusion scaling)
Чтобы удвоить смещение, обычно нужно в 4 раза больше времени
От пыльцы к ценам акций
Открытие Роберта Брауна
Шотландский ботаник Роберт Браун наблюдал под микроскопом хаотическое движение пыльцы в воде. Сначала он думал о жизненной силе, но позже увидел то же самое и у неорганических частиц.
Диссертация Башелье
Луи Башелье разработал теорию колебаний цен акций с помощью случайного блуждания за пять лет до Эйнштейна. Его работа положила начало математическим финансам.
Теория Эйнштейна
Альберт Эйнштейн объяснил броуновское движение через кинетическую теорию, вывел уравнение диффузии и связь ⟨x²⟩ = 2Dt. Это стало важным доказательством атомной теории.
⟨x²⟩ = 2Dt = (k_B T / 3πηr) × t
Эксперименты Перрена
Жан Перрен провел точные эксперименты, подтвердившие предсказания Эйнштейна, и получил Нобелевскую премию в 1926 году. Его результаты убедили многих скептиков в существовании атомов.
Математическая формализация Винера
Норберт Винер дал броуновскому движению строгую математическую основу, построив меру Винера и доказав свойства траекторий. Это стало фундаментом стохастического исчисления.
Формула Блэка-Шоулза
Фишер Блэк, Майрон Шоулз и Роберт Мертон разработали формулу оценки опционов на основе геометрического броуновского движения и изменили современные финансовые рынки.
C = S·N(d₁) - K·e^(-rT)·N(d₂)
Математическая основа
1. Простое случайное блуждание (дискретное)
Самый простой случайный процесс: на каждом шаге движение на ±1 с равной вероятностью.
S_0 = 0, S_{n+1} = S_n + ξ_n
P(ξ_n = +1) = P(ξ_n = -1) = 0.5
E[S_n] = 0, Var(S_n) = n
После n шагов типичное смещение масштабируется как √n.
2. Непрерывный предел (масштабирование)
Рассматриваются очень маленькие шаги ε и шаг времени δ при постоянном ε²/δ = 2D.
lim_{n→∞} S_{[nt]} / √n → W_t (Wiener process)
По центральной предельной теореме предел становится гауссовым.
3. Броуновское движение (процесс Винера)
Непрерывный по времени стохастический процесс с гауссовыми приращениями.
W_0 = 0
W_t - W_s ~ N(0, t-s) for t > s
Independent increments: W_t - W_s ⊥ W_s
Continuous paths (almost surely)
Его траектории непрерывны, но нигде не дифференцируемы.
4. Уравнение диффузии (Фоккера-Планка)
Плотность вероятности эволюционирует по уравнению теплопроводности.
∂P/∂t = D ∂²P/∂x²
P(x,t) = (4πDt)^(-1/2) × exp(-x²/4Dt)
Решение имеет гауссову форму с дисперсией 2Dt.
5. Исчисление Ито (стохастическое интегрирование)
Процессы с броуновским шумом требуют нового анализа.
dX_t = μ dt + σ dW_t
Itô Lemma: df(X,t) = f_x dX + (1/2)f_xx σ² dt + f_t dt
(dW_t)² = dt (quadratic variation)
Второй порядок важен, потому что (dWₜ)² = dt.
6. Геометрическое броуновское движение
Модель цен акций с положительными значениями и логнормальным распределением.
dS/S = μ dt + σ dW_t
S_t = S_0 × exp((μ - σ²/2)t + σW_t)
E[S_t] = S_0 e^{μt}
Var(S_t) = S_0² e^{2μt}(e^{σ²t} - 1)
log(Sₜ/S₀) распределен нормально.
Финансовые применения
Почему для акций используют геометрическое броуновское движение?
- Экспоненциальная форма сохраняет положительность цены.
- Модель описывает доходности, а не сами цены, как аддитивные и независимые величины.
- Логнормальное распределение часто служит полезным приближением для рыночных данных.
- Модель остается достаточно простой для аналитических решений.
Дрейф μ против волатильности σ
μ задает ожидаемую доходность или тренд, а σ измеряет случайность и риск.
Высокое σ означает большие колебания цен и более высокую требуемую премию за риск.
Высокое μ означает более сильный восходящий тренд и более высокую ожидаемую доходность.
Оценка опционов Блэка-Шоулза
Европейский колл-опцион дает право купить акцию по страйку K в момент T.
C = S·N(d₁) - K·e^(-rT)·N(d₂)
d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2)T] / (σ√T)
d₂ = d₁ - σ√T
N(·) — функция распределения стандартной нормали. Ключевая идея — построение безрискового хеджирующего портфеля.
Риск-нейтральная оценка
На полном рынке цена равна дисконтированному ожиданию выплаты под риск-нейтральной мерой.
Price = e^(-rT) × E_Q[Payoff]
Реальный дрейф μ заменяется безрисковой ставкой r.
Греки (меры риска)
- Δ (Delta): ∂Price/∂S (hedging ratio)
- Γ (Gamma): ∂²Price/∂S² (convexity)
- ν (Vega): ∂Price/∂σ (volatility sensitivity)
- Θ (Theta): ∂Price/∂T (time decay)
- ρ (Rho): ∂Price/∂r (interest rate sensitivity)
Метод Монте-Карло
Когда аналитического решения нет, моделируют большое число случайных траекторий.
S_{i+1} = S_i × exp((μ - σ²/2)dt + σ√dt·Z)
where Z ~ N(0,1)
В этой визуализации траектории строятся именно так.
Виртуальная лаборатория
Эксперимент 1: проверить соотношение Эйнштейна
Проверьте, выполняется ли в симуляции ⟨x²⟩ = 2Dt.
- Установите D = 1.0 и dt = 0.01.
- Запустите 50 частиц из начала координат.
- Доведите моделирование до T = 10.0 (1000 шагов).
- Проверьте наклон регрессии на графике MSD.
- Ожидаемый наклон: 2D = 2.0.
Эксперимент 2: центральная предельная теорема
Наблюдайте, как из простых шагов ±1 возникает гауссово распределение.
- Выберите простое случайное блуждание.
- Используйте 100 частиц из начала координат.
- Смотрите на гистограмму после 100, 500 и 1000 шагов.
- Сравните ее с теоретической гауссовой кривой.
Эксперимент 3: влияние дрейфа
Как постоянный дрейф изменяет распределение?
- Установите μ = 0.5 и D = 1.0.
- Запустите симуляцию и наблюдайте за ⟨x⟩.
- Ожидаемый результат: ⟨x⟩ = μt.
- Дисперсия остается 2Dt; дрейф смещает центр, но не меняет ширину.
Эксперимент 4: моделирование цены акции
Сравните разные рыночные сценарии.
- Переключитесь в финансовый режим.
- Попробуйте разные сочетания μ и σ.
- Бычий рынок: μ = 0.15, σ = 0.2.
- Медвежий рынок: μ = -0.05, σ = 0.3.
- Сравните вероятность прибыли и убытка.
Эксперимент 5: оценка опциона
Поймите модель Black-Scholes через симуляцию.
- Установите S₀ = 100, K = 100 и T = 1 год.
- Смоделируйте 1000 ценовых траекторий.
- Вычислите payoff колл-опциона max(Sₜ - K, 0).
- Усредните и дисконтируйте: e^(-rT) × E[payoff].
- Сравните результат с формулой Black-Scholes.