Интерактивная визуализация отображения кота Арнольда: (x', y') = ((x+y) mod N, (x+2y) mod N). Итерации перемешивают изображение, но ровно через K шагов оно идеально восстанавливается.
Отображение кота Арнольда (1960) — сохраняющее площадь преобразование на 2D-торе: (x', y') = ((x+y) mod 1, (x+2y) mod 1). В матричной форме A = [[1,1],[1,2]], det(A)=1, площадь сохраняется (теорема Лиувилля). Собственные значения λ = (3±√5)/2, оба иррациональны — отображение эргодично и перемешивающе. Несмотря на полное разрушение структуры после нескольких итераций, отображение периодично: для сетки N×N ровно через K итераций изображение восстанавливается.
Отображение кота Арнольда — прототип для понимания теории КАМ (Колмогоров-Арнольд-Мозер). Это диффеоморфизм Аносова — равномерно гиперболическое отображение. Близкие точки расходятся экспоненциально (положительный показатель Ляпунова ≈ 0.962). Однако на дискретной сетке отображение точно периодично. Сосуществование эргодичности и периодичности — hallmark сохраняющих площадь отображений.
Практические применения: (1) Шифрование изображений — перемешивание перед передачей. (2) Цифровые водяные знаки — встраивание скрытой информации. (3) Генерация псевдослучайных чисел. (4) Исследование гамильтоновых систем. (5) Криптография — параметры отображения служат секретными ключами.
Загрузите своё изображение или выберите встроенный узор. Нажмите Шаг → для одной итерации или используйте ползунок для перехода к сохранённым шагам. Меняйте a и b в матрице A = [[1,a],[b,1+ab]] и наблюдайте, является ли режим тождественным, параболическим или гиперболическим. При изменении N текущее исходное изображение пересэмплируется, а не заменяется обратно котом.