Линейная Сигма-Модель

Исследуйте спонтанное нарушение симметрии, теорему Голдстоуна и механизм Хиггса

Статус симметрии O(n) 对称
Вакуумное ожидание v 0.0
Масса Хиггса m_σ 1.0
Бозоны Голдстоуна 0

Параметры модели

Опции визуализации

Фаза симметрии

Текущая формула

V(Φ) = (λ/4)(Φ² - v²)²

Потенциал Мексиканской шляпы

Когда v > 0, потенциал образует форму 'мексиканской шляпы'. Любая точка на окружности является основным состоянием, и это непрерывное вырождение приводит к появлению бозонов Голдстоуна.

Пространство конфигураций поля

Поле Φ принимает значения в n-мерном внутреннем пространстве. Симметрия O(n) гарантирует, что потенциал зависит только от |Φ|² = ΦᵀΦ. Вакуумное ожидание ⟨Φ⟩ указывает направление спонтанного нарушения симметрии.

Массовый спектр частиц

Что такое линейная сигма-модель?

Линейная сигма-модель — это простейшая игрушечная модель для понимания спонтанного нарушения симметрии и механизма Хиггса. Она состоит из n действительных скалярных полей с глобальной симметрией O(n). Регулируя параметры, можно перейти от симметричной фазы к нарушенной фазе, наблюдая генерацию бозонов Голдстоуна и массу моды Хиггса.

Ключевые концепции

Симметрия O(n)

n-мерные действительные скалярные поля инвариантны при ортогональных преобразованиях. Группа O(n) имеет n(n-1)/2 генераторов, соответствующих n(n-1)/2 сохраняющимся зарядам.

Спонтанное нарушение симметрии

Когда v ≠ 0, вакуумное состояние не сохраняет исходную симметрию. Система выбирает определенное направление вакуума, приводя к нарушению O(n) → O(n-1).

Теорема Голдстоуна

Каждая нарушенная непрерывная симметрия порождает безмассовый бозон Голдстоуна. Существует n-1 мод Голдстоуна, колеблющихся на вакуумном многообразии.

Мода Хиггса

Радиальное поле σ приобретает массу m_σ = √(2λ)v — единственное массивное возбуждение системы, соответствующее частице Хиггса.

Лагранжиан

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu\Phi)^T(\partial^\mu\Phi) - \frac{\lambda}{4}(\Phi^T\Phi - v^2)^2$$

Кинетический член: 1/2(∂_μΦ)^T(∂^μΦ) описывает динамику n несвязанных действительных скалярных полей

Потенциальный член: V(Φ) = λ/4(Φ^TΦ - v²)² имеет симметрию O(n), образуя форму мексиканской шляпы при v > 0

Механизм нарушения симметрии

O(n)
Симметричная фаза (v = 0)
  • n вырожденных полей с массой m = √(λ)v
  • Вакуум в начале координат, единственный и симметричный
  • Полная симметрия O(n) сохраняется
→
O(n-1)
Нарушенная фаза (v > 0)
  • 1 массивное поле Хиггса с m_σ = √(2λ)v
  • n-1 безмассовых бозонов Голдстоуна
  • Вакуум на окружности/сфере с |Φ| = v

Разложение поля

В нарушенной фазе разложите поле на радиальную моду Хиггса и поперечные моды Голдстоуна:

$$\Phi = \begin{pmatrix} \pi_1 \\ \pi_2 \\ \vdots \\ \pi_{n-1} \\ v + \sigma \end{pmatrix}$$

Поле σ (Мода Хиггса)

Колеблется радиально, восстанавливая равновесный радиус, масса m_σ = √(2λ)v

Поля π (Моды Голдстоуна)

Колеблются тангенциально на вакуумном многообразии, без восстанавливающей силы, m_π = 0

Связь с калибровочными полями

Когда линейная сигма-модель связывается с калибровочными полями, бозоны Голдстоуна становятся продольной поляризацией калибровочных бозонов. Это механизм Хиггса:

$$\mathcal{L}_{\text{gauge}} = \frac{1}{2}(D_\mu\Phi)^T(D^\mu\Phi) - V(\Phi) - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}^a F^{\mu\nu}_a$$

где D_μ = ∂_μ + g A_μ^a T^a — ковариантная производная. В унитарной калибровке поля π 'съедаются', а A_μ^a приобретают массу m_A = gv.

История и приложения

1960
Ёитиро Намбу предлагает спонтанное нарушение симметрии для объяснения почти безмассовости пионов
1961
Теорема Голдстоуна: Спонтанное нарушение непрерывной симметрии неизбежно порождает безмассовые бозоны
1964
Хиггс, Энглерт/Брут и Гуральник/Хейген/Киббл независимо предлагают механизм Хиггса
1967-68
Модель Вайнберга-Салама: Применяет механизм Хиггса к электрослабому объединению
2012
БАК открывает бозон Хиггса, подтверждая механизм Хиггса Стандартной модели

Физические приложения

  • Физика элементарных частиц: Сектор Хиггса Стандартной модели, объясняющий происхождение масс бозонов W/Z и фермионов
  • Конденсированное состояние: Теория Гинзбурга-Ландау сверхтекучести и сверхпроводимости, ферромагнитные фазовые переходы
  • Космология: Фазовые переходы нарушения симметрии в ранней Вселенной, могут порождать космологические дефекты
  • Ядерная физика: Пионы как приблизительные бозоны Голдстоуна в хиральной теории возмущений