Explore a generalização do conjunto de Mandelbrot - z_{n+1}=z_n^p+c
O conjunto Multibrot (família de iteração polinomial) é uma generalização do conjunto de Mandelbrot, definido como o conjunto de todos os números complexos c para os quais a fórmula de iteração z_{n+1} = z_n^p + c não diverge. Quando p=2 torna-se o conjunto de Mandelbrot clássico, p=3 corresponde ao conjunto Tricorn, e outros valores de p produzem fractais com formas variadas. A potência p pode ser qualquer número real, incluindo não inteiros, criando estruturas fractais infinitamente diversas.
Para cada ponto c no plano complexo, começamos com z_0 = 0 e aplicamos repetidamente a fórmula de iteração z_{n+1} = z_n^p + c. A operação de potência complexa usa a fórmula z^p = e^{p(ln|z| + i·arg(z))}, onde arg(z) é o argumento do número complexo (faixa principal -π a π). Se após iterações suficientes |z_n| ainda não exceder 2, o ponto é considerado pertencente ao conjunto Multibrot (exibido como preto). Se |z_n| exceder 2, o ponto foge para o infinito, e colorimos por velocidade de fuga (contagem de iterações).
O conjunto Multibrot demonstra fenômenos ricos na dinâmica complexa. À medida que a potência p muda, a conectividade, simetria e complexidade limite do fractal passam por mudanças significativas. Potências inteiras produzem simetria rotacional (simetria p-vezes), enquanto potências não inteiras quebram a simetria, criando padrões assimétricos únicos. Esta família fractal é uma ferramenta importante para estudar iteração polinomial complexa, teoria do caos e geometria fractal.
Experimente diferentes valores de potência para observar mudanças na morfologia fractal. Comece com p=2 (Mandelbrot clássico), então gradualmente aumente ou diminua p. Explore regiões de fronteira onde existem os detalhes mais ricos. Valores de p não inteiros (como 2.5, 3.7) produzem padrões particularmente interessantes. Aumentar a contagem de iterações revela detalhes de borda mais finos mas reduz a velocidade de renderização.