Expoente de Lyapunov

Quantificando a divergência ou convergência de trajetórias em sistemas caóticos

Resultados

Expoente de Lyapunov λ: --
Estado do Sistema: --
λ = lim→∞ (1/t) · ln(|δx(t)/δx(0)|)

O que é o Expoente de Lyapunov?

O Expoente de Lyapunov é uma métrica chave para quantificar a sensibilidade de trajetórias às condições iniciais em sistemas dinâmicos. Ele descreve a taxa exponencial média na qual trajetórias próximas se separam no espaço de fase ao longo do tempo.

Fórmula Matemática

λ = limt→∞ (1/t) · ln(|δx(t)/δx(0)|)
  • λ: Expoente de Lyapunov, representando a taxa média de separação de trajetórias
  • δx(t): Distância de separação entre duas trajetórias no tempo t
  • δx(0): Distância de separação inicial entre duas trajetórias

Interpretação

λ > 0: Sistema Caótico

Trajetórias divergem exponencialmente, mostrando sensibilidade extrema às condições iniciais. Mesmo pequenas diferenças nas condições iniciais levam a trajetórias que se separam rapidamente, exibindo o 'efeito borboleta'.

Sistemas típicos: Mapa logístico (r > 3.57), sistema de Lorenz, sistema de Rossler

λ ≤ 0: Sistema Estável

Trajetórias convergem ou exibem movimento periódico. Trajetórias próximas não divergem, e o sistema tem previsibilidade.

Sistemas típicos: Oscilador harmônico amortecido, mapas convergindo para pontos fixos, órbitas periódicas

Aplicações

Método de Cálculo

Para mapas discretos x(n+1) = f(x(n)), o expoente de Lyapunov pode ser aproximado por:

λ ≈ (1/N) · Σ ln(|f'(xi)|)

Onde N é o número de iterações e f'(x) é a derivada da função do mapa.