Visualização do Modelo de Ising

Transições de Fase e Fenômenos Críticos em Mecânica Estatística - Simulação Monte Carlo Interativa

Wilhelm Lenz (1920) · Ernst Ising (1925) · Lars Onsager (1944)

Temperatura (T) 2.27
T/Tc 1.00
Energia E -1.50
Magnetização |M| 0.85
Passos Monte Carlo 0

Controles de Simulação

Baixa 2.27 Alta
Temperatura Crítica Tc ≈ 2.269
-2.0 0.0 +2.0
Antiferro -1.0 1.0 Ferro +1.0
20 50 100
1 20 100

Evolução da Energia

Evolução da Magnetização

Teoria do Modelo de Ising

O modelo de Ising é um dos modelos mais icônicos em mecânica estatística, descrevendo o comportamento de interação de spins em uma rede.

Hamiltoniano

H = -J Σ<ij> sᵢsⱼ - h Σᵢ sᵢ
  • sᵢ = ±1 - Direção do spin (cima/baixo)
  • J - Constante de acoplamento (J>0 ferromagnético, J<0 antiferromagnético)
  • h - Intensidade do campo magnético externo
  • Σ<ij> - Soma sobre spins vizinhos mais próximos

Marcos

  • 1920 - Wilhelm Lenz propõe o modelo
  • 1925 - Ernst Ising resolve o caso 1D (sem transição de fase)
  • 1944 - Lars Onsager resolve exatamente o caso 2D (descobre transição de fase)

Fenômenos de Transição de Fase

Temperatura Crítica

Tc = 2/ln(1+√2) ≈ 2.269

Próximo à temperatura crítica, o sistema sofre uma transição do estado ordenado para desordenado.

Três Regimes

Baixa Temperatura T < Tc

Fase ferromagnética ordenada. Quebra espontânea de simetria, a maioria dos spins aponta na mesma direção, magnetização |M| > 0.

Ponto Crítico T ≈ Tc

Flutuações críticas. Aparecem clusters em grande escala, desaceleração crítica, suscetibilidade magnética diverge.

Alta Temperatura T > Tc

Fase paramagnética desordenada. Spins orientados aleatoriamente, magnetização média M = 0.

Algoritmo de Metropolis-Hastings

Usando métodos Monte Carlo para simular o comportamento termodinâmico do sistema.

Passos do Algoritmo

  1. Selecionar aleatoriamente um spin sᵢ
  2. Calcular a mudança de energia ΔE se virado
  3. Se ΔE ≤ 0, aceitar a virada
  4. Se ΔE > 0, aceitar com probabilidade exp(-ΔE/kT)
  5. Repetir N×N vezes para um passo Monte Carlo

Probabilidade de Aceitação

P(accept) = min(1, e^(-ΔE/kT))
Nota: Próximo ao ponto crítico, o sistema exibe o fenômeno de 'desaceleração crítica', com convergência significativamente mais lenta. O algoritmo de Wolff (virada de clusters) pode ser usado para acelerar.

Guia de Observação

Ferromagnetismo Baixa T (T < 2.0)

Definir T ≈ 1.5, observar grandes regiões da mesma cor. Este é o estado ordenado ferromagnético com quebra espontânea de simetria.

Flutuações Críticas (T ≈ 2.27)

Definir T = 2.27, observar formação e morte de clusters em grande escala. Esta é a região mais interessante!

Paramagnetismo Alta T (T > 3.0)

Definir T ≈ 4.0, observar viradas aleatórias de spins. Este é o estado paramagnético desordenado.

Efeito de Campo Externo

Ajustar o campo externo h, observar viés na direção do spin. h > 0 favorece cima, h < 0 favorece baixo.

Fase Antiferromagnética (J < 0)

Definir J = -1.0, estado ordenado antiferromagnético tipo faixa se forma em baixa temperatura.

Compreensão Interativa de Fórmulas

H

Energia Total

O Hamiltoniano do sistema, representando a energia total. O sistema tende ao estado de energia mais baixa.

-J Σ sᵢsⱼ

Termo de Interação

Energia de interação de spins vizinhos mais próximos. J > 0: mesma direção tem energia mais baixa (ferromagnético); J < 0: direção oposta tem energia mais baixa (antiferromagnético).

-h Σ sᵢ

Termo de Campo Externo

Energia do campo externo atuando sobre spins. h > 0: spins para cima têm energia mais baixa; h < 0: spins para baixo têm energia mais baixa.