O Conjunto de Mandelbrot
Um fractal definido pelo polinômio quadrático complexo z_{n+1} = z_n² + c, onde z_0 = 0. Pontos que permanecem limitados sob iteração formam o conjunto.
Fórmula: z_{n+1} = z_n² + c
Auto-similaridade aparece em todas as escalas ao fazer zoom na borda.
Conjuntos de Julia
Para cada constante complexa c, o conjunto de Julia J_c consiste em pontos z_0 cujas órbitas permanecem limitadas sob z_{n+1} = z_n² + c.
Conectividade: O conjunto de Julia é conectado se c está no conjunto de Mandelbrot, caso contrário é um conjunto de Cantor.
Feto de Barnsley
Um sistema de funções iteradas (IFS) que gera um fractal tipo feto. Cada ponto é transformado por uma das quatro transformações afins escolhidas probabilisticamente.
Transformações:
x_{n+1} = 0, y_{n+1} = 0.16y_n
x_{n+1} = 0.85x_n + 0.04y_n, y_{n+1} = -0.04x_n + 0.85y_n + 1.6
x_{n+1} = 0.20x_n - 0.26y_n, y_{n+1} = 0.23x_n + 0.22y_n + 1.6
x_{n+1} = -0.15x_n + 0.28y_n, y_{n+1} = 0.26x_n + 0.24y_n + 0.44
Árvore Fractal (Árvore de Pitágoras)
Um fractal construído adicionando recursivamente galhos menores a cada membro, demonstrando auto-similaridade e crescimento exponencial.
Número de galhos: N = 2^{profundidade+1} - 2
Cada galho é uma cópia escalonada de toda a árvore.
Dimensão de Contagem de Caixas
Um método para estimar a dimensão fractal cobrindo o conjunto com caixas de tamanho ε e contando quantas caixas N(ε) contêm parte do fractal.
Resultados:
D = lim_{ε→0} (log N(ε) / log(1/ε))
A inclinação de log(N) vs log(1/ε) dá a dimensão fractal.