Equação de Duffing:
ÿ + δẏ + αy + βy³ = γ cos(ωt)
Domínio do Tempo
Retrato de Fase
Seção de Poincaré
Energia Potencial
Parâmetros do Sistema
Condições Iniciais
Configurações de Simulação
Predefinições
Teoria e Contexto
Visão Geral
O oscilador de Duffing é um exemplo clássico de um sistema dinâmico não linear que exibe uma grande variedade de comportamentos, incluindo movimento periódico, duplicação de período e caos. Modela um oscilador amortecido e forçado com uma força restauradora não linear.
A Equação
A equação é: ÿ + δẏ + αy + βy³ = γ cos(ωt), onde δ é o amortecimento, α e β são coeficientes de rigidez linear e não linear, γ é a amplitude de força e ω é a frequência de força.
Potencial de Poço Duplo
Quando α < 0 e β > 0, o sistema tem um potencial de poço duplo com dois pontos de equilíbrio estáveis. A partícula pode oscilar em um poço ou saltar entre poços, levando a dinâmicas complexas.
Caos e Sensibilidade
Para certos valores de parâmetros, o sistema exibe comportamento caótico caracterizado por sensibilidade às condições iniciais, atratores estranhos no espaço de fase e um amplo espectro de potência.
Guia de Parâmetros
Amortecimento (δ)
Controla a dissipação de energia. Valores mais altos levam a decaimento mais rápido das oscilações. δ = 0 dá movimento conservativo.
Coeficiente Linear (α)
Determina a forma do potencial. α > 0: poço único (mola dura). α < 0: poço duplo com dois equilíbrios estáveis.
Coeficiente Não Linear (β)
Controla a força da não linearidade cúbica. β > 0 dá efeito de endurecimento, β < 0 dá efeito de amolecimento.
Amplitude de Força (γ)
Força da força periódica. Aumentar γ pode levar à duplicação de período e transição para o caos.
Frequência de Força (ω)
Frequência da força periódica. A ressonância ocorre perto da frequência natural, levando a oscilações de grande amplitude.
Guia de Visualização
Gráfico de Domínio do Tempo
Mostra a posição x(t) ao longo do tempo. Movimento periódico mostra padrões repetitivos, enquanto o caos aparece irregular e imprevisível.
Retrato de Fase
Traça velocidade versus posição. Loops fechados indicam movimento periódico. Atratores estranhos com estrutura fractal indicam caos.
Seção de Poincaré
Amostra o estado uma vez por período de força. Movimento periódico mostra pontos discretos. Caos mostra distribuições de pontos tipo fractal.
Energia Potencial
Mostra a superfície de energia potencial V(x) = -½αx² + ¼βx⁴. Poços duplos têm dois mínimos. Poços únicos têm um mínimo.
Aplicações
- Vibrações mecânicas e engenharia estrutural
- Circuitos elétricos não lineares
- Osciladores biológicos e sistemas neurais
- Dinâmica climática e modelos de população
- Analogias de mecânica quântica