Parametros
Tipo de caminhada aleatoria
Condicao inicial
Acoes
Opcoes de exibicao
Presets
Velocidade da animacao
30 FPSPosicao media ⟨x⟩
Deslocamento quadratico medio ⟨x²⟩
Coeficiente de difusao D
Variancia σ²
Distribuicao de posicao
Deslocamento quadratico medio vs tempo
Analise matematica
Distribuicao do deslocamento
P(x,t) = (4πDt)^(-1/2) × exp(-x²/4Dt)
Distribuicao gaussiana com variancia 2Dt
Relacao de Einstein
⟨x²⟩ = 2Dt
O deslocamento quadratico medio cresce linearmente com o tempo
Movimento browniano geometrico
dS = μS dt + σS dW_t
S_t = S_0 × exp((μ - σ²/2)t + σW_t)
Modelo de preco de acao (Black-Scholes)
Caminhada aleatoria simples
S_{n+1} = S_n + ξ_n, ξ_n ∈ {-1, +1}
Var(S_n) = n
A versao discreta converge para o movimento browniano
Propriedades do processo de Wiener
- W₀ = 0 (comeca na origem)
- Incrementos independentes
- Wₜ - Wₛ ~ N(0, t-s)
- Trajetorias continuas (quase certamente)
Lei de escala
x ~ √t (diffusion scaling)
Para dobrar o deslocamento, normalmente e preciso 4 vezes mais tempo
Do polen aos precos das acoes
A descoberta de Robert Brown
O botanico escoces Robert Brown observou ao microscopio o movimento irregular de graos de polen na agua. Inicialmente imaginou uma forca vital, mas depois encontrou o mesmo fenomeno em particulas inorganicas.
A tese de Bachelier
Louis Bachelier desenvolveu uma teoria das flutuacoes de preco usando caminhada aleatoria cinco anos antes de Einstein. Seu trabalho inaugurou as financas matematicas.
A teoria de Einstein
Albert Einstein explicou o movimento browniano pela teoria cinetica, derivou a equacao de difusao e obteve a relacao ⟨x²⟩ = 2Dt. Isso foi uma evidencia decisiva a favor da teoria atomica.
⟨x²⟩ = 2Dt = (k_B T / 3πηr) × t
Os experimentos de Perrin
Jean Perrin realizou experimentos precisos que confirmaram as previsoes de Einstein e lhe renderam o Nobel em 1926. Seus resultados convenceram muitos céticos da existencia dos atomos.
A formalizacao matematica de Wiener
Norbert Wiener deu base rigorosa ao movimento browniano ao construir a medida de Wiener e provar propriedades das trajetorias. Isso se tornou central para o calculo estocastico.
A formula de Black-Scholes
Fisher Black, Myron Scholes e Robert Merton desenvolveram a formula de precificacao de opcoes usando movimento browniano geometrico e transformaram os mercados financeiros modernos.
C = S·N(d₁) - K·e^(-rT)·N(d₂)
Fundamento matematico
1. Caminhada aleatoria simples (discreta)
O processo aleatorio mais simples: em cada passo, move-se ±1 com probabilidade igual.
S_0 = 0, S_{n+1} = S_n + ξ_n
P(ξ_n = +1) = P(ξ_n = -1) = 0.5
E[S_n] = 0, Var(S_n) = n
Apos n passos, o deslocamento tipico cresce como √n.
2. Limite continuo (escalonamento)
Tomam-se muitos passos pequenos com tamanho ε e passo temporal δ, mantendo ε²/δ = 2D constante.
lim_{n→∞} S_{[nt]} / √n → W_t (Wiener process)
Pelo teorema central do limite, o processo converge para uma gaussiana.
3. Movimento browniano (processo de Wiener)
Processo estocastico em tempo continuo com incrementos gaussianos.
W_0 = 0
W_t - W_s ~ N(0, t-s) for t > s
Independent increments: W_t - W_s ⊥ W_s
Continuous paths (almost surely)
As trajetorias sao continuas, mas nao diferenciaveis.
4. Equacao de difusao (Fokker-Planck)
A densidade de probabilidade evolui segundo a equacao do calor.
∂P/∂t = D ∂²P/∂x²
P(x,t) = (4πDt)^(-1/2) × exp(-x²/4Dt)
A solucao e gaussiana com variancia 2Dt.
5. Calculo de Itô (integracao estocastica)
Processos com ruido browniano exigem um novo calculo.
dX_t = μ dt + σ dW_t
Itô Lemma: df(X,t) = f_x dX + (1/2)f_xx σ² dt + f_t dt
(dW_t)² = dt (quadratic variation)
O termo de segunda ordem importa porque (dWₜ)² = dt.
6. Movimento browniano geometrico
Modelo para precos de acoes com valores positivos e distribuicao log-normal.
dS/S = μ dt + σ dW_t
S_t = S_0 × exp((μ - σ²/2)t + σW_t)
E[S_t] = S_0 e^{μt}
Var(S_t) = S_0² e^{2μt}(e^{σ²t} - 1)
log(Sₜ/S₀) segue uma distribuicao normal.
Aplicacoes financeiras
Por que usar movimento browniano geometrico para acoes?
- Os precos permanecem positivos por causa da forma exponencial.
- O modelo trata retornos, e nao precos, como grandezas aditivas e independentes.
- A distribuicao log-normal muitas vezes aproxima bem os dados observados.
- O modelo continua simples o suficiente para solucoes analiticas.
Deriva μ versus volatilidade σ
μ representa o retorno esperado ou tendencia, enquanto σ mede aleatoriedade e risco.
σ alto implica grandes oscilacoes de preco e maior premio de risco.
μ alto implica tendencia de alta mais forte e maior retorno esperado.
Precificacao de opcoes Black-Scholes
Uma opcao de compra europeia da o direito de comprar uma acao ao strike K no tempo T.
C = S·N(d₁) - K·e^(-rT)·N(d₂)
d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2)T] / (σ√T)
d₂ = d₁ - σ√T
N(·) e a CDF normal padrao. A ideia central e montar uma carteira sem risco.
Precificacao neutra ao risco
Em mercados completos, o preco e a expectativa descontada do payoff sob a medida neutra ao risco.
Price = e^(-rT) × E_Q[Payoff]
A deriva real μ e substituida pela taxa livre de risco r.
As gregas (medidas de risco)
- Δ (Delta): ∂Price/∂S (hedging ratio)
- Γ (Gamma): ∂²Price/∂S² (convexity)
- ν (Vega): ∂Price/∂σ (volatility sensitivity)
- Θ (Theta): ∂Price/∂T (time decay)
- ρ (Rho): ∂Price/∂r (interest rate sensitivity)
Simulacao de Monte Carlo
Quando nao existe solucao analitica, simulam-se muitas trajetorias aleatorias.
S_{i+1} = S_i × exp((μ - σ²/2)dt + σ√dt·Z)
where Z ~ N(0,1)
Esta visualizacao usa exatamente esse metodo para simular trajetorias.
Laboratorio virtual
Experimento 1: verificar a relacao de Einstein
Teste se ⟨x²⟩ = 2Dt vale na simulacao.
- Defina D = 1.0 e dt = 0.01.
- Comece com 50 particulas na origem.
- Execute ate T = 10.0 (1000 passos).
- Confira a inclinacao da regressao no grafico de MSD.
- Inclinacao esperada: 2D = 2.0.
Experimento 2: teorema central do limite
Veja uma distribuicao gaussiana emergir de passos simples ±1.
- Selecione caminhada aleatoria simples.
- Use 100 particulas a partir da origem.
- Observe o histograma apos 100, 500 e 1000 passos.
- Compare com a curva gaussiana teorica.
Experimento 3: efeito da deriva
Como uma deriva constante altera a distribuicao?
- Defina μ = 0.5 e D = 1.0.
- Execute a simulacao e observe ⟨x⟩.
- Esperado: ⟨x⟩ = μt.
- A variancia continua 2Dt; a deriva desloca o centro, mas nao muda a dispersao.
Experimento 4: simulacao de preco de acao
Compare diferentes cenarios de mercado.
- Mude para o modo Financas.
- Experimente diferentes combinacoes de μ e σ.
- Mercado de alta: μ = 0.15, σ = 0.2.
- Mercado de baixa: μ = -0.05, σ = 0.3.
- Observe a probabilidade de lucro versus perda.
Experimento 5: precificacao de opcao
Entenda Black-Scholes por meio da simulacao.
- Defina S₀ = 100, K = 100 e T = 1 ano.
- Simule 1000 trajetorias de preco.
- Calcule o payoff da call max(Sₜ - K, 0).
- Calcule a media e desconte: e^(-rT) × E[payoff].
- Compare com a formula de Black-Scholes.