Visualização interativa do Mapa do Gato de Arnold: (x', y') = ((x+y) mod N, (x+2y) mod N). Iterações embaralham a imagem, mas após exatamente K passos ela se restaura perfeitamente.
O Mapa do Gato de Arnold (1960) é uma transformação que preserva área no toro 2D: (x', y') = ((x+y) mod 1, (x+2y) mod 1). Na forma matricial A = [[1,1],[1,2]], com det(A)=1, preserva área (teorema de Liouville). Os autovalores são λ = (3±√5)/2, ambos irracionais — o mapeamento é ergódico e misturador. Apesar de destruir a estrutura espacial após poucas iterações, o mapeamento é periódico: para uma grade N×N, após exatamente K iterações a imagem retorna ao original.
O Mapa do Gato de Arnold é um protótipo para entender a teoria KAM. É um difeomorfismo de Anosov — uniformemente hiperbólico. Pontos próximos divergem exponencialmente (expoente de Lyapunov ≈ 0.962). Apesar do caos, o mapeamento é exatamente periódico em uma grade discreta. A coexistência de ergodicidade e periodicidade é marca dos mapeamentos que preservam área.
Aplicações práticas: (1) Criptografia de imagens — embaralhar antes da transmissão. (2) Marca d'água digital — embutir informações ocultas. (3) Geração de números pseudoaleatórios. (4) Estudo de sistemas hamiltonianos. (5) Criptografia — os parâmetros servem como chaves secretas.
Carregue sua própria imagem ou escolha um padrão integrado. Clique em Passo → para uma iteração ou use o controle deslizante para saltar entre etapas em cache. Ajuste a e b para mudar a matriz A = [[1,a],[b,1+ab]] e observe se o regime é identidade, parabólico ou hiperbólico. Ao mudar N, a imagem-fonte atual é reamostrada em vez de voltar silenciosamente ao desenho do gato.