Modelo Sigma Linear

Explore a Ruptura Espontânea de Simetria, o Teorema de Goldstone e o Mecanismo de Higgs

Estado de Simetria O(n) 对称
Valor Esperado do Vácuo v 0.0
Massa do Higgs m_σ 1.0
Bósons de Goldstone 0

Parâmetros do Modelo

Opções de Visualização

Fase de Simetria

Fórmula Atual

V(Φ) = (λ/4)(Φ² - v²)²

Potencial de Chapéu Mexicano

Quando v > 0, o potencial forma uma forma de 'chapéu mexicano'. Qualquer ponto na circunferência é um estado fundamental, e essa degenerescência contínua leva ao aparecimento de bósons de Goldstone.

Espaço de Configuração do Campo

O campo Φ assume valores em um espaço interno n-dimensional. A simetria O(n) garante que o potencial dependa apenas de |Φ|² = ΦᵀΦ. O valor esperado do vácuo ⟨Φ⟩ indica a direção da ruptura espontânea de simetria.

Espectro de Massas de Partículas

O que é o Modelo Sigma Linear?

O Modelo Sigma Linear é o modelo de brinquedo mais simples para entender a ruptura espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs. Consiste em n campos escalares reais com simetria global O(n). Ajustando parâmetros, pode-se transitar da fase simétrica para a fase quebrada, observando a geração de bósons de Goldstone e a massa do modo de Higgs.

Conceitos Chave

Simetria O(n)

Campos escalares reais n-dimensionais são invariantes sob transformações ortogonais. O grupo O(n) tem n(n-1)/2 geradores, correspondendo a n(n-1)/2 cargas conservadas.

Ruptura Espontânea de Simetria

Quando v ≠ 0, o estado de vácuo não preserva a simetria original. O sistema escolhe uma direção específica de vácuo, levando à ruptura O(n) → O(n-1).

Teorema de Goldstone

Cada simetria contínua quebrada produz um bóson de Goldstone sem massa. Há n-1 modos de Goldstone oscilando na variedade de vácuo.

Modo de Higgs

O campo radial σ adquire massa m_σ = √(2λ)v, a única excitação massiva do sistema, correspondendo à partícula de Higgs.

Lagrangiano

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu\Phi)^T(\partial^\mu\Phi) - \frac{\lambda}{4}(\Phi^T\Phi - v^2)^2$$

Termo cinético: 1/2(∂_μΦ)^T(∂^μΦ) descreve a dinâmica de n campos escalares reais não acoplados

Termo de potencial: V(Φ) = λ/4(Φ^TΦ - v²)² tem simetria O(n), formando uma forma de chapéu mexicano quando v > 0

Mecanismo de Ruptura de Simetria

O(n)
Fase Simétrica (v = 0)
  • n campos degenerados com massa m = √(λ)v
  • Vácuo na origem, único e simétrico
  • Simetria O(n) completamente preservada
→
O(n-1)
Fase Quebrada (v > 0)
  • 1 campo de Higgs massivo com m_σ = √(2λ)v
  • n-1 bósons de Goldstone sem massa
  • Vácuo em círculo/esfera com |Φ| = v

Decomposição do Campo

Na fase quebrada, decomponha o campo em modo de Higgs radial e modos de Goldstone transversais:

$$\Phi = \begin{pmatrix} \pi_1 \\ \pi_2 \\ \vdots \\ \pi_{n-1} \\ v + \sigma \end{pmatrix}$$

Campo σ (Modo de Higgs)

Oscila radialmente, restaurando o raio de equilíbrio, massa m_σ = √(2λ)v

Campos π (Modos de Goldstone)

Oscila tangencialmente na variedade de vácuo, sem força restauradora, m_π = 0

Acoplamento a Campos de Gauge

Quando o modelo sigma linear se acopla a campos de gauge, os bósons de Goldstone tornam-se a polarização longitudinal dos bósons de gauge. Este é o mecanismo de Higgs:

$$\mathcal{L}_{\text{gauge}} = \frac{1}{2}(D_\mu\Phi)^T(D^\mu\Phi) - V(\Phi) - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}^a F^{\mu\nu}_a$$

onde D_μ = ∂_μ + g A_μ^a T^a é a derivada covariante. No gauge unitário, os campos π são 'comidos' e A_μ^a adquirem massa m_A = gv.

História e Aplicações

1960
Yoichiro Nambu propõe a ruptura espontânea de simetria para explicar a quase ausência de massa dos píons
1961
Teorema de Goldstone: A ruptura espontânea de simetria contínua produz necessariamente bósons sem massa
1964
Higgs, Englert/Brout e Guralnik/Hagen/Kibble propõem independentemente o mecanismo de Higgs
1967-68
Modelo Weinberg-Salam: Aplica o mecanismo de Higgs à unificação eletrofraca
2012
O LHC descobre o bóson de Higgs, confirmando o mecanismo de Higgs do Modelo Padrão

Aplicações Físicas

  • Física de Partículas: Setor de Higgs do Modelo Padrão, explicando a origem das massas dos bósons W/Z e férmions
  • Matéria Condensada: Teoria de Ginzburg-Landau da superfluidade e supercondutividade, transições de fase ferromagnéticas
  • Cosmologia: Transições de fase de ruptura de simetria no universo primordial, podem produzir defeitos cosmológicos
  • Física Nuclear: Píons como bósons de Goldstone aproximados na teoria de perturbações quirais