Théorème d'Échantillonnage et Aliasing

Visualisation interactive du théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon et du phénomène d'aliasing

Paramètres du Signal

2.0
8.0
1.0
0

Préréglages

f_s / 2f_max
2.00
Échantillonnage Adéquat
Signal Original
Échantillons
Reconstruit
Aliasing (si applicable)
Spectre Original
Échantillonné (avec répliques)
Composants d'Aliasing
Taux d'Échantillonnage : 8.0 Hz
Taux de Nyquist : 4.0 Hz
Fréquence Maximale : 2.0 Hz
Fréquence d'Aliasing : --
Erreur de Reconstruction (MSE) : --

Concepts Clés

Théorème d'Échantillonnage de Nyquist-Shannon

Un signal continu peut être parfaitement reconstruit à partir de ses échantillons si le taux d'échantillonnage est au moins le double du composant de fréquence maximale du signal.

Condition :

Processus d'Échantillonnage :

  • f_s : Fréquence d'échantillonnage (échantillons par seconde)
  • f_max : Composant de fréquence maximale dans le signal
  • Quand f_s ≥ 2f_max : Reconstruction parfaite possible
  • Quand f_s < 2f_max : Aliasing se produit, information perdue

Phénomène d'Aliasing

Lorsqu'un signal est échantillonné à un taux trop bas, les composants de haute fréquence apparaissent comme des composants de basse fréquence.

Fréquence d'Aliasing :

Exemples :

  • Signal de 10 Hz échantillonné à 15 Hz apparaît comme 5 Hz
  • Signal de 8 Hz échantillonné à 10 Hz apparaît comme 2 Hz

Effet de Roue de Chariot :

Dans les films, les roues de chariot peuvent sembler tourner vers l'arrière en raison de l'aliasing temporel. C'est le même phénomène qui cause l'aliasing dans le traitement des signaux !

Méthodes de Reconstruction de Signal

Blocage d'Ordre Zéro

Maintient chaque valeur d'échantillon constante jusqu'à l'échantillon suivant. Crée une approximation en escalier.

Interpolation Linéaire

Connecte les échantillons adjacents avec des lignes droites. Simple mais pas précis pour les hautes fréquences.

Interpolation Sinc (Idéale)

Utilise la formule d'interpolation de Whittaker-Shannon. Reconstruction parfaite si la condition de Nyquist est respectée.

Spline Cubique

Utilise des polynômes cubiques par morceaux. Résultats lisses avec une bonne précision.

Applications du Monde Réel

Échantillonnage Audio

Audio CD : Taux d'échantillonnage de 44.1 kHz pour des fréquences jusqu'à 22.05 kHz (gamme d'audition humaine)

Taux de Trames Vidéo

24/30/60 fps pour éviter l'aliasing de mouvement dans le cinéma et la vidéo

Traitement d'Images

La grille de pixels échantillonne la scène continue ; les filtres anti-aliasing réduisent les artefacts

Communications Numériques

La conversion ADC/DAC doit satisfaire le critère de Nyquist pour une transmission précise