L'Ensemble de Mandelbrot
Un fractal défini par le polynôme quadratique complexe z_{n+1} = z_n² + c, où z_0 = 0. Les points qui restent bornés sous itération forment l'ensemble.
Formule: z_{n+1} = z_n² + c
L'auto-similarité apparaît à toutes les échelles en zoomant sur la frontière.
Ensembles de Julia
Pour chaque constante complexe c, l'ensemble de Julia J_c consiste en les points z_0 dont les orbites restent bornées sous z_{n+1} = z_n² + c.
Connectivité: L'ensemble de Julia est connexe si c est dans l'ensemble de Mandelbrot, sinon c'est un ensemble de Cantor.
Fougère de Barnsley
Un système de fonctions itérées (IFS) qui génère un fractal type fougère. Chaque point est transformé par l'une des quatre transformations affines choisies probabilistiquement.
Transformations:
x_{n+1} = 0, y_{n+1} = 0.16y_n
x_{n+1} = 0.85x_n + 0.04y_n, y_{n+1} = -0.04x_n + 0.85y_n + 1.6
x_{n+1} = 0.20x_n - 0.26y_n, y_{n+1} = 0.23x_n + 0.22y_n + 1.6
x_{n+1} = -0.15x_n + 0.28y_n, y_{n+1} = 0.26x_n + 0.24y_n + 0.44
Arbre Fractal (Arbre de Pythagore)
Un fractal construit en ajoutant récursivement des branches plus petites à chaque membre, démontrant l'auto-similarité et la croissance exponentielle.
Nombre de branches: N = 2^{profondeur+1} - 2
Chaque branche est une copie mise à l'échelle de l'arbre entier.
Dimension de Comptage de Boîtes
Une méthode pour estimer la dimension fractale en couvrant l'ensemble avec des boîtes de taille ε et en comptant combien de boîtes N(ε) contiennent une partie du fractal.
Résultats:
D = lim_{ε→0} (log N(ε) / log(1/ε))
La pente de log(N) vs log(1/ε) donne la dimension fractale.