Équation de Duffing :
ÿ + δẏ + αy + βy³ = γ cos(ωt)
Domaine Temporel
Portrait de Phase
Section de Poincaré
Énergie Potentielle
Paramètres du Système
Conditions Initiales
Paramètres de Simulation
Préréglages
Théorie et Contexte
Aperçu
L'oscillateur de Duffing est un exemple classique de système dynamique non linéaire qui présente une grande variété de comportements, notamment le mouvement périodique, le dédoublement de période et le chaos. Il modélise un oscillateur amorti et excité avec une force de restauration non linéaire.
L'Équation
L'équation est : ÿ + δẏ + αy + βy³ = γ cos(ωt), où δ est l'amortissement, α et β sont les coefficients de rigidité linéaire et non linéaire, γ est l'amplitude d'excitation et ω est la fréquence d'excitation.
Potentiel à Double Puits
Lorsque α < 0 et β > 0, le système a un potentiel à double puits avec deux points d'équilibre stables. La particule peut osciller dans un puits ou sauter entre les puits, conduisant à des dynamiques complexes.
Chaos et Sensibilité
Pour certaines valeurs de paramètres, le système présente un comportement chaotique caractérisé par une sensibilité aux conditions initiales, des attracteurs étranges dans l'espace des phases et un large spectre de puissance.
Guide des Paramètres
Amortissement (δ)
Contrôle la dissipation d'énergie. Des valeurs plus élevées conduisent à une décroissance plus rapide des oscillations. δ = 0 donne un mouvement conservatif.
Coefficient Linéaire (α)
Détermine la forme du potentiel. α > 0 : puits unique (ressort dur). α < 0 : double puits avec deux équilibres stables.
Coefficient Non Linéaire (β)
Contrôle la force de la non-linéarité cubique. β > 0 donne un effet de durcissement, β < 0 donne un effet de ramollissement.
Amplitude d'Excitation (γ)
Force de l'excitation périodique. Augmenter γ peut conduire au dédoublement de période et à la transition vers le chaos.
Fréquence d'Excitation (ω)
Fréquence de l'excitation périodique. La résonance se produit près de la fréquence naturelle, conduisant à des oscillations de grande amplitude.
Guide de Visualisation
Graphique du Domaine Temporel
Montre la position x(t) au cours du temps. Le mouvement périodique montre des motifs répétitifs, tandis que le chaos apparaît irrégulier et imprévisible.
Portrait de Phase
Trace la vitesse en fonction de la position. Les boucles fermées indiquent un mouvement périodique. Les attracteurs étranges avec structure fractale indiquent le chaos.
Section de Poincaré
Échantillonne l'état une fois par période d'excitation. Le mouvement périodique montre des points discrets. Le chaos montre des distributions de points de type fractal.
Énergie Potentielle
Montre la surface d'énergie potentielle V(x) = -½αx² + ¼βx⁴. Les doubles puits ont deux minima. Les puits uniques ont un minimum.
Applications
- Vibrations mécaniques et génie structurel
- Circuits électriques non linéaires
- Oscillateurs biologiques et systèmes neuronaux
- Dynamique climatique et modèles de population
- Analogies en mécanique quantique