Parametres
Type de marche aleatoire
Condition initiale
Actions
Options daffichage
Presets
Vitesse danimation
30 FPSPosition moyenne ⟨x⟩
Deplacement quadratique moyen ⟨x²⟩
Coefficient de diffusion D
Variance σ²
Distribution des positions
Deplacement quadratique moyen vs temps
Analyse mathematique
Distribution du deplacement
P(x,t) = (4πDt)^(-1/2) × exp(-x²/4Dt)
Distribution gaussienne de variance 2Dt
Relation dEinstein
⟨x²⟩ = 2Dt
Le deplacement quadratique moyen croît lineairement avec le temps
Mouvement brownien geometrique
dS = μS dt + σS dW_t
S_t = S_0 × exp((μ - σ²/2)t + σW_t)
Modele de prix daction (Black-Scholes)
Marche aleatoire simple
S_{n+1} = S_n + ξ_n, ξ_n ∈ {-1, +1}
Var(S_n) = n
La version discrete converge vers le mouvement brownien
Proprietes du processus de Wiener
- W₀ = 0 (commence a lorigine)
- Accroissements independants
- Wₜ - Wₛ ~ N(0, t-s)
- Trajectoires continues (presque surement)
Loi de changement dechelle
x ~ √t (diffusion scaling)
Pour doubler le deplacement, il faut 4 fois plus de temps
Du pollen aux prix des actions
La decouverte de Robert Brown
Le botaniste ecossais Robert Brown observa le mouvement erratique de grains de pollen dans leau au microscope. Il pensa dabord a une force vitale, avant de constater le meme comportement pour des particules inorganiques.
La these de Bachelier
Louis Bachelier developpa une theorie des fluctuations boursieres a partir de la marche aleatoire, cinq ans avant Einstein. Son travail posa les bases de la finance mathematique.
La theorie dEinstein
Albert Einstein expliqua le mouvement brownien par la theorie cinetique, deduisit lequation de diffusion et obtint la relation ⟨x²⟩ = 2Dt. Cela constitua une preuve majeure en faveur de la theorie atomique.
⟨x²⟩ = 2Dt = (k_B T / 3πηr) × t
Les experiences de Perrin
Jean Perrin verifica avec precision les predictions dEinstein et obtint le prix Nobel en 1926. Ses resultats convainquirent de nombreux sceptiques de lexistence des atomes.
La formalisation mathematique de Wiener
Norbert Wiener donna une base rigoureuse au mouvement brownien en construisant la mesure de Wiener et en etudiant les proprietes des trajectoires. Cela devint central pour le calcul stochastique.
La formule de Black-Scholes
Fisher Black, Myron Scholes et Robert Merton developperent la formule de valorisation des options avec le mouvement brownien geometrique, transformant les marches financiers.
C = S·N(d₁) - K·e^(-rT)·N(d₂)
Fondement mathematique
1. Marche aleatoire simple (discrete)
Le processus aleatoire le plus simple : a chaque etape, on avance de ±1 avec la meme probabilite.
S_0 = 0, S_{n+1} = S_n + ξ_n
P(ξ_n = +1) = P(ξ_n = -1) = 0.5
E[S_n] = 0, Var(S_n) = n
Apres n etapes, le deplacement typique evolue comme √n.
2. Limite continue (mise a lechelle)
On considere de tres petits pas ε et un pas de temps δ avec ε²/δ = 2D constant.
lim_{n→∞} S_{[nt]} / √n → W_t (Wiener process)
Par le theoreme central limite, le processus converge vers une gaussienne.
3. Mouvement brownien (processus de Wiener)
Processus stochastique a temps continu avec accroissements gaussiens.
W_0 = 0
W_t - W_s ~ N(0, t-s) for t > s
Independent increments: W_t - W_s ⊥ W_s
Continuous paths (almost surely)
Les trajectoires sont continues mais non differentiables.
4. Equation de diffusion (Fokker-Planck)
La densite de probabilite evolue selon lequation de la chaleur.
∂P/∂t = D ∂²P/∂x²
P(x,t) = (4πDt)^(-1/2) × exp(-x²/4Dt)
La solution est gaussienne avec une variance 2Dt.
5. Calcul dItô (integration stochastique)
Les processus avec bruit brownien exigent un nouveau calcul.
dX_t = μ dt + σ dW_t
Itô Lemma: df(X,t) = f_x dX + (1/2)f_xx σ² dt + f_t dt
(dW_t)² = dt (quadratic variation)
Le terme du second ordre compte car (dWₜ)² = dt.
6. Mouvement brownien geometrique
Modele de prix daction avec valeurs positives et loi log-normale.
dS/S = μ dt + σ dW_t
S_t = S_0 × exp((μ - σ²/2)t + σW_t)
E[S_t] = S_0 e^{μt}
Var(S_t) = S_0² e^{2μt}(e^{σ²t} - 1)
log(Sₜ/S₀) suit une loi normale.
Applications financieres
Pourquoi utiliser le mouvement brownien geometrique pour les actions ?
- Les prix restent positifs grace a la forme exponentielle.
- On modele les rendements, et non les prix, comme grandeurs additives et independantes.
- La loi log-normale offre souvent une approximation utile des donnees de marche.
- Le modele reste assez simple pour produire des solutions analytiques.
Derive μ contre volatilite σ
μ represente le rendement espere ou la tendance, tandis que σ mesure laleatoire et le risque.
Un σ eleve implique de fortes variations de prix et une prime de risque plus importante.
Un μ eleve implique une tendance haussiere plus forte et un rendement espere plus grand.
Valorisation des options Black-Scholes
Une option call europeenne donne le droit dacheter une action au strike K a la date T.
C = S·N(d₁) - K·e^(-rT)·N(d₂)
d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2)T] / (σ√T)
d₂ = d₁ - σ√T
N(·) est la fonction de repartition normale standard. Lidee cle est de construire une couverture sans risque.
Valorisation risque neutre
Dans un marche complet, le prix est lesperance actualisee du payoff sous la mesure risque neutre.
Price = e^(-rT) × E_Q[Payoff]
On remplace la derive reelle μ par le taux sans risque r.
Les grecques (mesures de risque)
- Δ (Delta): ∂Price/∂S (hedging ratio)
- Γ (Gamma): ∂²Price/∂S² (convexity)
- ν (Vega): ∂Price/∂σ (volatility sensitivity)
- Θ (Theta): ∂Price/∂T (time decay)
- ρ (Rho): ∂Price/∂r (interest rate sensitivity)
Simulation Monte Carlo
Lorsquil ny a pas de solution analytique, on simule un grand nombre de trajectoires aleatoires.
S_{i+1} = S_i × exp((μ - σ²/2)dt + σ√dt·Z)
where Z ~ N(0,1)
Cette visualisation utilise cette methode pour simuler les trajectoires.
Laboratoire virtuel
Experience 1 : verifier la relation dEinstein
Tester si ⟨x²⟩ = 2Dt est verifie dans la simulation.
- Regler D = 1.0 et dt = 0.01.
- Commencer avec 50 particules a lorigine.
- Lancer jusqua T = 10.0 (1000 etapes).
- Verifier la pente de regression dans le graphe MSD.
- Pente attendue : 2D = 2.0.
Experience 2 : theoreme central limite
Observer lapparition dune distribution gaussienne a partir de pas ±1.
- Choisir la marche aleatoire simple.
- Utiliser 100 particules a lorigine.
- Observer lhistogramme apres 100, 500 et 1000 etapes.
- Comparer avec la courbe gaussienne theorique.
Experience 3 : effet de la derive
Comment une derive constante modifie-t-elle la distribution ?
- Fixer μ = 0.5 et D = 1.0.
- Lancer la simulation et observer ⟨x⟩.
- Attendu : ⟨x⟩ = μt.
- La variance reste 2Dt ; la derive deplace la moyenne sans elargir la diffusion.
Experience 4 : simulation de prix daction
Comparer differents scenarios de marche.
- Passer en mode Finance.
- Essayer differentes combinaisons de μ et σ.
- Marche haussier : μ = 0.15, σ = 0.2.
- Marche baissier : μ = -0.05, σ = 0.3.
- Observer la probabilite de gain par rapport a la perte.
Experience 5 : valorisation doption
Comprendre Black-Scholes par la simulation.
- Fixer S₀ = 100, K = 100 et T = 1 an.
- Simuler 1000 trajectoires de prix.
- Calculer le payoff call max(Sₜ - K, 0).
- Moyenner puis actualiser : e^(-rT) × E[payoff].
- Comparer avec la formule de Black-Scholes.