Visualisation interactive de l'application du chat d'Arnold : (x', y') = ((x+y) mod N, (x+2y) mod N). Les itérations brouillent l'image, mais après exactement K étapes elle se restaure parfaitement.
L'application du chat d'Arnold (1960) est une transformation préservant l'aire sur le tore 2D : (x', y') = ((x+y) mod 1, (x+2y) mod 1). Sous forme matricielle A = [[1,1],[1,2]], avec det(A)=1, elle préserve l'aire (théorème de Liouville). Les valeurs propres sont λ = (3±√5)/2, toutes irrationnelles — l'application est ergodique et mélangeante. Malgré la destruction apparente de la structure spatiale après quelques itérations, l'application est périodique : pour une grille N×N, après exactement K itérations l'image revient à l'original.
L'application du chat d'Arnold est un prototype pour comprendre la théorie KAM. C'est un difféomorphisme d'Anosov — uniformément hyperbolique. Les points proches divergent exponentiellement (exposant de Lyapunov ≈ 0.962). Malgré le chaos, l'application est exactement périodique sur une grille discrète. La coexistence d'ergodicité et de périodicité est une caractéristique des applications préservant l'aire.
Applications pratiques : (1) Chiffrement d'images — brouillage avant transmission. (2) Tatouage numérique — insertion d'informations cachées. (3) Génération de nombres pseudo-aléatoires. (4) Étude des systèmes hamiltoniens. (5) Cryptographie — les paramètres servent de clés secrètes.
Chargez votre propre image ou choisissez un motif intégré. Cliquez sur Pas → pour une itération ou utilisez le curseur pour atteindre une étape mémorisée. Réglez a et b pour modifier la matrice A = [[1,a],[b,1+ab]] et observez si le régime est identité, parabolique ou hyperbolique. Changer N rééchantillonne l'image source actuelle au lieu de revenir au motif du chat.