Modèle Sigma Linéaire

Explorez la Brisure Spontanée de Symétrie, le Théorème de Goldstone et le Mécanisme de Higgs

État de Symétrie O(n) 对称
Valeur Moyenne du Vide v 0.0
Masse du Higgs m_σ 1.0
Bosons de Goldstone 0

Paramètres du Modèle

Options de Visualisation

Phase de Symétrie

Formule Actuelle

V(Φ) = (λ/4)(Φ² - v²)²

Potentiel en Chapeau Mexicain

Quand v > 0, le potentiel forme une forme de 'chapeau mexicain'. N'importe quel point sur la circonférence est un état fondamental, et cette dégénérescence continue conduit à l'apparition de bosons de Goldstone.

Espace de Configuration du Champ

Le champ Φ prend des valeurs dans un espace interne n-dimensionnel. La symétrie O(n) assure que le potentiel dépende seulement de |Φ|² = ΦᵀΦ. La valeur moyenne du vide ⟨Φ⟩ indique la direction de la brisure spontanée de symétrie.

Spectre de Masse des Particules

Qu'est-ce que le Modèle Sigma Linéaire ?

Le Modèle Sigma Linéaire est le modèle-jouet le plus simple pour comprendre la brisure spontanée de symétrie et le mécanisme de Higgs. Il consiste en n champs scalaires réels avec symétrie globale O(n). En ajustant les paramètres, on peut passer de la phase symétrique à la phase brisée, observant la génération de bosons de Goldstone et la masse du mode de Higgs.

Concepts Clés

Symétrie O(n)

Les champs scalaires réels n-dimensionnels sont invariants sous transformations orthogonales. Le groupe O(n) a n(n-1)/2 générateurs, correspondant à n(n-1)/2 charges conservées.

Brisure Spontanée de Symétrie

Quand v ≠ 0, l'état de vide ne préserve pas la symétrie originale. Le système choisit une direction spécifique de vide, conduisant à la brisure O(n) → O(n-1).

Théorème de Goldstone

Chaque symétrie continue brisée produit un boson de Goldstone sans masse. Il y a n-1 modes de Goldstone oscillant sur la variété de vide.

Mode de Higgs

Le champ radial σ acquiert une masse m_σ = √(2λ)v, la seule excitation massive du système, correspondant à la particule de Higgs.

Lagrangien

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu\Phi)^T(\partial^\mu\Phi) - \frac{\lambda}{4}(\Phi^T\Phi - v^2)^2$$

Terme cinétique : 1/2(∂_μΦ)^T(∂^μΦ) décrit la dynamique de n champs scalaires réels non couplés

Terme de potentiel : V(Φ) = λ/4(Φ^TΦ - v²)² a une symétrie O(n), formant une forme de chapeau mexicain quand v > 0

Mécanisme de Brisure de Symétrie

O(n)
Phase Symétrique (v = 0)
  • n champs dégénérés avec masse m = √(λ)v
  • Vide à l'origine, unique et symétrique
  • Symétrie O(n) complètement préservée
→
O(n-1)
Phase Brisée (v > 0)
  • 1 champ de Higgs massif avec m_σ = √(2λ)v
  • n-1 bosons de Goldstone sans masse
  • Vide sur cercle/sphère avec |Φ| = v

Décomposition du Champ

Dans la phase brisée, décomposez le champ en mode de Higgs radial et modes de Goldstone transversaux :

$$\Phi = \begin{pmatrix} \pi_1 \\ \pi_2 \\ \vdots \\ \pi_{n-1} \\ v + \sigma \end{pmatrix}$$

Champ σ (Mode de Higgs)

Oscille radialement, restaurant le rayon d'équilibre, masse m_σ = √(2λ)v

Champs π (Modes de Goldstone)

Oscille tangentiellement sur la variété de vide, sans force de rappel, m_π = 0

Couplage aux Champs de Jauge

Quand le modèle sigma linéaire se couple aux champs de jauge, les bosons de Goldstone deviennent la polarisation longitudinale des bosons de jauge. C'est le mécanisme de Higgs :

$$\mathcal{L}_{\text{gauge}} = \frac{1}{2}(D_\mu\Phi)^T(D^\mu\Phi) - V(\Phi) - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}^a F^{\mu\nu}_a$$

où D_μ = ∂_μ + g A_μ^a T^a est la dérivée covariante. En jauge unitaire, les champs π sont 'mangés' et A_μ^a acquièrent une masse m_A = gv.

Histoire et Applications

1960
Yoichiro Nambu propose la brisure spontanée de symétrie pour expliquer la quasi-absence de masse des pions
1961
Théorème de Goldstone : La brisure spontanée de symétrie continue produit nécessairement des bosons sans masse
1964
Higgs, Englert/Brout et Guralnik/Hagen/Kibble proposent indépendamment le mécanisme de Higgs
1967-68
Modèle Weinberg-Salam : Applique le mécanisme de Higgs à l'unification électrofaible
2012
Le LHC découvre le boson de Higgs, confirmant le mécanisme de Higgs du Modèle Standard

Applications Physiques

  • Physique des Particules : Secteur de Higgs du Modèle Standard, expliquant l'origine des masses des bosons W/Z et des fermions
  • Matière Condensée : Théorie de Ginzburg-Landau de la superfluidité et de la supraconductivité, transitions de phase ferromagnétiques
  • Cosmologie : Transitions de phase de brisure de symétrie dans l'univers primordial, peuvent produire des défauts cosmologiques
  • Physique Nucléaire : Pions comme bosons de Goldstone approximatifs en théorie des perturbations chirales