Pozo de Potencial V(x)
Diagrama de Niveles de Energía
Función de Onda ψₙ(x)
Densidad de Probabilidad |ψ|²
Transiciones de Energía
Parámetros del Sistema
Parámetros del Oscilador
Estado Cuántico
Opciones de Visualización
Opciones de Transición
Preajustes Rápidos
Ecuaciones del Oscilador Armónico Cuántico
¿Qué es el Oscilador Armónico Cuántico?
El oscilador armónico cuántico es uno de los sistemas más importantes en la mecánica cuántica, que describe partículas unidas por un potencial parabólico V(x) = ½mω²x². A diferencia del pozo cuadrado infinito, el oscilador armónico tiene niveles de energía igualmente espaciados Eₙ = (n + ½)ħω, donde n = 0, 1, 2, ... Este sistema modela vibraciones moleculares, fonones en sólidos, y es la base para la teoría cuántica de campos.
Pozo Parabólico
El potencial armónico V(x) = ½mω²x² forma un "cuenco" parabólico que aumenta cuadráticamente con la distancia del centro. La fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento: F = -mω²x (Ley de Hooke). Clásicamente, una partícula en este potencial oscila sinusoidalmente con frecuencia ω. Cuánticamente, la partícula solo puede ocupar niveles de energía discretos, con el estado base teniendo energía del punto cero no cero E₀ = ½ħω.
Funciones de Onda y Polinomios de Hermite
Las funciones de onda son ψₙ(x) = Nₙ·Hₙ(ξ)·e^(-ξ²/2), donde ξ = √(mω/ħ)·x es la coordenada adimensional y Hₙ(ξ) son polinomios de Hermite. Cada estado tiene n nodos (donde ψ = 0), y la distribución de probabilidad muestra patrones interesantes: para n=0, la partícula es más probablemente encontrada en el centro; para n más altos, hay múltiples picos separados por nodos. Las funciones de onda penetran en la región clásicamente prohibida más allá de los puntos de giro.
Niveles de Energía Igualmente Espaciados
Energía del Punto Cero (n=0): E₀ = ½ħω. La partícula no puede tener energía cero debido al principio de incertidumbre. Esto representa fluctuaciones cuánticas incluso a temperatura cero absoluta.
Espaciado Igual: A diferencia de otros sistemas cuánticos, los niveles de energía adyacentes están separados exactamente por ħω. Esta propiedad única hace que el oscilador armónico sea exactamente soluble y conduce a un movimiento armónico simple en los estados coherentes.
Regla de Selección: Las transiciones ocurren principalmente entre niveles adyacentes (Δn = ±1), emitiendo o absorbiendo fotones de energía ħω.
Correspondencia Clásica
En el límite clásico (n grande), la densidad de probabilidad se concentra cerca de los puntos de giro clásicos donde la energía cinética es mínima. Esto es análogo a un oscilador clásico que pasa más tiempo cerca de los puntos de giro donde se mueve más lento. El principio de correspondencia establece que la mecánica cuántica se reduce a la mecánica clásica para números cuánticos grandes.
Aplicaciones y Significado
Vibraciones Moleculares: Las moléculas diatómicas vibran aproximadamente como osciladores armónicos, con espectros vibracionales mostrando niveles de energía igualmente espaciados.
Fonones: Las vibraciones de red en cristales se cuantizan como fonones, descritas por modos de oscilador armónico.
Teoría Cuántica de Campos: Cada modo de campo es un oscilador armónico, haciendo este sistema fundamental para la física de partículas.
Estados Coherentes: Estados cuánticos especiales que más se asemejan al movimiento oscilatorio clásico, importantes en óptica cuántica y física de láseres.
Óptica Cuántica: Los modos de luz en cavidades ópticas se modelan como osciladores armónicos.
Túnel Cuántico en el Oscilador Armónico
A diferencia de las partículas clásicas confinadas estrictamente dentro de los puntos de giro, las partículas cuánticas tienen densidad de probabilidad no cero fuera de la región clásica. Este efecto de túnel disminuye exponencialmente con la distancia y es más pronunciado para el estado base. La profundidad de penetración depende de la altura de la barrera y disminuye para los estados de energía más altos.