Exponente de Lyapunov

Cuantificando la divergencia o convergencia de trayectorias en sistemas caóticos

Resultados

Exponente de Lyapunov λ: --
Estado del Sistema: --
λ = lim→∞ (1/t) · ln(|δx(t)/δx(0)|)

¿Qué es el Exponente de Lyapunov?

El Exponente de Lyapunov es una métrica clave para cuantificar la sensibilidad de las trayectorias a las condiciones iniciales en sistemas dinámicos. Describe la tasa exponencial promedio a la que las trayectorias cercanas se separan en el espacio de fases con el tiempo.

Fórmula Matemática

λ = limt→∞ (1/t) · ln(|δx(t)/δx(0)|)
  • λ: Exponente de Lyapunov, representa la tasa promedio de separación de trayectorias
  • δx(t): Distancia de separación entre dos trayectorias en el tiempo t
  • δx(0): Distancia de separación inicial entre dos trayectorias

Interpretación

λ > 0: Sistema Caótico

Las trayectorias divergen exponencialmente, mostrando sensibilidad extrema a las condiciones iniciales. Incluso pequeñas diferencias en las condiciones iniciales conducen a trayectorias que se separan rápidamente, exhibiendo el 'efecto mariposa'.

Sistemas típicos: Mapa logístico (r > 3.57), sistema de Lorenz, sistema de Rossler

λ ≤ 0: Sistema Estable

Las trayectorias convergen o exhiben movimiento periódico. Las trayectorias cercanas no divergen, y el sistema tiene previsibilidad.

Sistemas típicos: Oscilador armónico amortiguado, mapas que convergen a puntos fijos, órbitas periódicas

Aplicaciones

Método de Cálculo

Para mapas discretos x(n+1) = f(x(n)), el exponente de Lyapunov se puede aproximar por:

λ ≈ (1/N) · Σ ln(|f'(xi)|)

Donde N es el número de iteraciones y f'(x) es la derivada de la función del mapa.